Курс «Математический анализ» занимает важное место среди математических дисциплин. Всего, из них Лекции Практич./Семинар. Контроль самост. работы. Курс 1.

Уральский институт экономии, управления и права

Кафедра математики и естественнонаучных дисциплин





Программа учебной дисциплины «Математический анализ» направление подготовки 380305.62 Бизнес-информатика

Квалификация (степень) выпускника - бакалавр









Екатеринбург 2014


УТВЕРЖДАЮ:
Проректор по учебной работе
_______________ Б.В. Личман
«_____» _________________ 2014 г.


Программа дисциплины «Математический анализ» составлена в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (приказ N 27 от 14 января 2010 г.) к освоению основных образовательных программ бакалавриата по направлению подготовки «Бизнес-информатика» по математическому и естественнонаучному циклу, базовая часть.

Разработчик программы дисциплины

ФИО
Уч. степень, уч. звание
Должность
Кафедра

1
Трофимов Сергей Павлович
канд. физ.-мат. наук, доцент
зав.кафедрой
математики и естественнонаучных дисциплин


Программа дисциплины одобрена на заседании кафедры математики и естественнонаучных дисциплин 19 сентября 2014 г. (протокол № 1)

Зав. кафедрой Трофимов С.П. доц., к.ф.-м.н.


Программа рекомендована к печати (протокол № 1 от 16 октября 2014 года засе-
дания Учебно-методической комиссии Ученого совета УИЭУиП).






© Уральский институт экономики, управления и права, 2014
1.1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСЦИПЛИНЫ
Цели освоения дисциплины
Формирование теоретико-методологических представлений о математической науке, необходимого для решения теоретических и практических задач.
Вооружение конкретными знаниями закономерностей, принципов, содержания, форм и методов профессионального образования, дающими возможность квалифицированно преподавать математические дисциплины в средней школе и вести научно-исследовательскую работу.
Формирование культуры мышления, способности к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения.

Задачи дисциплины:
изучить основные понятия и теоремы математического анализа; рассмотреть применение основных положений дисциплины в экономике; научиться применять теоретические понятия для решения задач; научиться решать типовые задачи по известному алгоритму; научиться записывать задачу формализованным языком; научиться решать нетиповые задачи с применением знаний из смежных разделов дисциплины; научиться строить простейшие линейные экономические модели; научить использовать новейшие компьютерные информационные технологии для поиска, обработки и систематизации естественнонаучной информации.

Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина «Математический анализ» играет важную роль в формировании основных общекультурных и профессиональных компетенций бакалавра-бизнес-информатка, относится к математическому и естественнонаучному циклу, входит в его базовую часть.
Требования к входным знаниям, умениям и компетенциям студента формируются на основе программы среднего (полного) общего образования по математике. Для изучения дисциплины «Математический анализ» желательно владение знаниями, умениями и компетенциями, которые студент получает в курсе «Линейная алгебра», «Теоретические основы информатики».
На базе компетенций дисциплины «Математический анализ» будет проходить изучение дисциплин «Дискретная математика», «Дифференциальные и разностные уравнения», «Теория вероятностей и математическая статистика», , «Имитационное моделирование», «Исследование операций», «Численные методы», «Пакеты статистического анализа», «Информационная безопасность», «Нечеткая логика и нейронные сети», «Моделирование экономических процессов»

Требования к результатам освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
использовать основные методы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности для теоретического и экспериментального исследования (ПК-19)
использовать соответствующий математический аппарат и инструментальные средства для обработки, анализа и систематизации информации по теме исследования (ПК-20)

В результате изучения дисциплины студент должен:
знать:
Теорию множеств
Основы математической логики
Аксиомы, определения, теоремы и формулы, составляющие теоретическую основу курса.
Теорию дифференциального и интегрального исчисления
Дифференциальных уравнений и систем
Методы исследования функций одной и нескольких переменных

уметь:
Решать теоретико-множественные задачи
Выполнять операции с логическими выражениями
Находить производные сложных функций
Применять методы интегрирования элементарных функций
Использовать численные методы дифференцирования и интегрирования
Строить формальные математические модели простых экономических процессов
владеть:
Методами корректного, логически строго доказательства;
Аппаратом аналитического исследования;
Техническими вычислительными приемами.
Культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения
Способностью использовать знания о современных проблемах науки и образования в образовательной и профессиональной деятельности
Способами ориентации в профессиональных источниках информации
Готовностью работать с компьютером как средством управления информацией
Способностью логически верно выстраивать устную и письменную речь

Краткое дидактическое описание дисциплины
Настоящий учебный курс представляет собой дисциплину, которая читается на первом курсе факультета информационных технологий в течение двух семестров. Первый семестр завершается зачетом, второй семестр - экзаменом.
Основные модули дисциплины: элементы теории множеств; основы математической логики; дифференциальное исчисление; интегральное исчисление; исследование функций одной и нескольких переменных, дифференциальные уравнения.
Овладение профессией бизнес-информаткиа в высшей школе невозможно без изучения методов классической математики.
Цель настоящего учебного курса - дать студенту основу математического образования, привить культуру аналитического, абстрактно-логического мышления, подготовить его к восприятию других математических дисциплин, создать базу для освоения современных методов математических моделей экономики.
Сердцевиной математического знания является математический анализ.
К задачам курса, наряду с изучением программного материала, относится выработка грамотного, профессионального подхода к его приложениям, понимания актуальности аналитического инструментария и формирование динамического отношения к применению традиционных методов.
Математическое образование является важнейшей составляющей фундаментальной подготовки специалистов информационного и экономического профилей. Бизнес-информатик должен иметь представление о месте и роли математики в современном мире и в гуманитарных исследованиях, о математическом моделировании, о принципах математических рассуждений и математических доказательств, уметь применять основные понятия математики в своей профессиональной деятельности.
Курс «Математический анализ» занимает важное место среди математических дисциплин. В нем органично сочетаются абстрактные понятия и прикладные модели, а также хорошо просматривается взаимосвязь курса с другими математическими и экономическими дисциплинами.

Трудоемкость дисциплины - 5 зачетных единиц (180 часов).

1.2 СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел I. Функции одной переменной. Дифференциальное исчисление (первый семестр)
Элементы теории множеств
Понятие множества. Описание Кантора. Операции над множествами. Запись множества в виде кругов Эйлера.
Числовые множества. Натуральные и целые числа. Рациональные числа и способы их представления. Периодические и правильные дроби и алгоритмы перехода между ними. Алгоритм
Эвклида нахождения НОД двух чисел. Задача «Вычислите 2,3(4) + 1,7(5). Представьте результат также в виде десятичной периодической дроби».
Числовые множества. Действительные числа. Существование иррациональных чисел. Понятие трансцендентных чисел. Иррациональность числа 13 EMBED Equation.3 1415. Трансцедентные числа.
Мощность множества. Конечные и бесконечные множества. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел. Континуум-гипотеза.
Основы математической логики
Кванторы логики. Операции импликации и эквивалентности. Компактная запись математических утверждений с использованием кванторов. Отрицание кванторов.
Элементы математической логики. Логические операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Таблицы истинности. Эквивалентность логических выражений.
Виды математических теорем и утверждений. Утверждения-следствия, утверждения-эквивалентности. Различные варианты формулировок теорем. Построение отрицаний к утверждениям.

Функция
Понятие функции как отображение множества в другое множество. Виды функций: сюръекция, инъекция, биекция. Взаимно однозначные функции.
Композиция функций. Обратные функции. Свойства композиции и обратных функций.
Элементарные функции: линейные, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические. Область определения и область допустимых значений функции. Графики элементарных функций.
Линейные преобразования графиков функций.
Последовательности и их пределы
Понятие числовой последовательности. Определение предела числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. Теорема о конечности членов последовательности вне любой окрестности предела. Теорема о единственности предела последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности. Теорема о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную. Теорема об арифметических действиях со сходящимися последовательностями. Некоторые приёмы раскрытия неопределённостей.
Критерии сходимости и их практическое применение.
Пределы и непрерывность функции
Определение предела функции действительного переменного в точке по Коши. Определение предела функции по Гейне. Односторонние пределы. Пределы функции при стремлении аргумента к бесконечности. Пределы функции, равные бесконечности. Теорема о пределах суммы, произведения, частного функций. Теорема о предельном переходе в неравенстве для функции. Теорема о двух полицейских. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Применения к раскрытию неопределённостей.
Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Непрерывность основных элементарных функций. Доказательство непрерывности синуса. Теорема о непрерывности суммы, разности, произведении, частного непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности элементарных функций. Непрерывность на множестве. Первая теорема Больцано-Коши. Метод деления отрезка пополам для решения нелинейных уравнений. Вторая теорема Больцано-Коши. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
Дифференциальное исчисление
Понятие производной. Её механический смысл. Геометрический смысл производной. Соотношение между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производная суммы, произведения, частного. Производная сложной и обратной функции. Таблица производных. Экстремумы функции, необходимые условия, достаточные условия. Производные высших порядков. Выпуклость функции. Асимптоты функции. Полное исследование функции и построение графиков. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях. Теорема Ролля. Теорема Коши. Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.
Методы численного дифференцирования. Численные методы проверки правильности вычисления производной. Геометрический способ вычисления производной.

Раздел II. Интегральное исчисление. Функции многих переменных. Дифференциальные уравнения (второй семестр)
Числовые и степенные ряды
Определение сходящихся числовых рядов. Примеры. Гармонический ряд. Признаки сравнения числовых рядов. Признак Даламбера. Знакопеременные числовые ряды. Признак Лейбница.
Степенные ряды. Область и радиус сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Применения рядов в приближенных вычислениях.
Комплексные числа
Определение комплексного числа. Вещественная и мнимая части. Геометрическая интерпретация. Чисто мнимые и комплексные числа. Пара сопряженных комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.
Арифметические операции над комплексными числами. Формула Муавра.
Числовые ряды с комплексными членами. Условие сходимости степенных рядов с комплексными членами. Формулы Эйлера и показательная форма записи комплексного числа.
Экономические приложения комплексных чисел.
Неопределенный интеграл
Первообразная функции. Неопределённый интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной в неопределённом интеграле. Формула интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование простейших иррациональностей. Понятие о неберущихся интегралах.
Численные методы проверки правильности вычисления неопределенного интеграла. Геометрический способ построения первообразной.
Определенный интеграл и его применения
Определённый интеграл и его свойства. Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и формула интегрирования по частям в определённом интеграле. Площадь криволинейной трапеции. Объем тела вращения. Длина дуги плоской кривой. Несобственные интегралы.
Численные методы вычисления определенных интегралов и построения первообразных функций.
Понятие двойного интеграла. Определение. Геометрический смысл. Повторный интеграл. Численные методы вычисления двойного интеграла.
Функции нескольких переменных
Понятие функции нескольких переменных. Линии уровня. Линейные функции. Квадратичные функции. Матричная запись линейных и квадратичных функций. Выпуклые функции. Построение графиков функции нескольких переменных с использованием пакетов Excel и MatLab.
Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Дифференцирование функции нескольких переменных (первые и вторые частные производные). Градиент функции. Геометрические свойства градиента. Ортогональность градиента и линии уровня. Производная по направлению. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Матрица вторых производных или гессиан функции. Свойства гессиана. Выпуклость и вогнутость функции. Знакоопределенность квадратной матрицы. Положительная определенность матрицы вторых производных и выпуклость функции. Седловые точки.
Полный дифференциал функции двух переменных и его приложения для приближенных вычислений. Формула Тейлора для функции двух и более переменных.
Задача безусловной оптимизации. Безусловные экстремумы. Стационарные точки. Необходимые условия экстремума функции двух переменных. Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Задача условной оптимизации. Целевая функция и функции ограничений. Допустимые и недопустимые точки. Допустимое множество. Условные экстремумы. Активные и неактивные ограничения в точке. Зависимость между градиентами целевой функции и активных ограничений в точке условного экстремума. Правило множителей Лагранжа.
Дифференциальные уравнения и системы
Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Общее и частное решение уравнения. Геометрический смысл уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения. Численное решение Дифференциальные уравнения первого порядка методом Эйлера.
Линейные дифференциальные уравнения второго и высшего порядка с постоянными коэффициентами. Применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений.


1.3 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА УЧЕБНОГО ВРЕМЕНИ ДИСЦИПЛИНЫ ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ

(очная форма обучения)
 
Объем учебного времени, отведенный на освоение дисциплины

 
5 з.е. / 180 часов

Раздел / темы дисциплины
Всего
Аудиторные занятия
Самост. раб.
Компетенции в рамках результатов обучения (РО)

 

Всего, из них
Лекции
Практич./Семинар.
Из них в интеракти

 

Семестр 1

Тема 1. Элементы теории множеств
12
6
2
4
1
6
ОК-7, ПК-15, ПК-17

Тема 2. Основы математической логики
18
12
4
8
1
6
ОК-7, ПК-3

Тема 3. Функция
14
8
2
6
1
6
ОК-7, ПК-3

Тема 4. Последовательности и их пределы
12
6
2
4
1
6
ПК-15, ПК-17, ПК-24

Тема 5. Пределы и непрерывность функций
12
6
2
4
1
6
ПК-15, ПК-17, ПК-25

Тема 6. Дифференциальное исчисление
22
16
6
10
1
6
ПК-15, ПК-17, ПК-26

Всего за 1 семестр
90
54
18
36
6
36
 

Семестр 2

Тема 7. Числовые и степенные ряды
8
6
2
4
1
2
ПК-15, ПК-17, ПК-21

Тема 8. Комплексные числа
8
6
2
4
1
2
ПК-15, ПК-17, ПК-22

Тема 9.Неопределенный интеграл
14
12
4
8
1
2
ОК-7, ПК-3, ПК-17

Тема 10.Определенный интеграл и его применения
13
12
4
8
1
1
ПК-15, ПК-17, ПК-24

Тема 11. Функции нескольких переменных
9
8
2
6
1
1
ПК-15, ПК-17, ПК-25

Тема 12. Дифференциальные уравнения и системы
11
10
4
6
1
1
ПК-15, ПК-17, ПК-26

Экзамен
27
 
 
 
 
27


Всего за 2 семестр
90
54
18
36
6
36
 

ИТОГО
180
108
36
72
12
72
 

Промежуточный контроль: 1 семестр – зачет, 2 семестр – экзамен

(очно-заочная форма обучения)
 
Объем учебного времени, отведенный на освоение дисциплины

 
5 з.е. / 180 часов

Раздел / темы дисциплины
Всего
Аудиторные занятия
Самост. раб.
Компетенции в рамках результатов обучения (РО)

 

Всего, из них
Лекции
Практич./Семинар.
Из них в интеракти

 

Семестр 1

Тема 1. Элементы теории множеств
12
4
2
2
1
8
ОК-7, ПК-15, ПК-17

Тема 2. Основы математической логики
15
5
1
4
1
10
ОК-7, ПК-3

Тема 3. Функция
15
5
1
4
1
10
ОК-7, ПК-3

Тема 4. Последовательности и их пределы
16
6
2
4
1
10
ПК-15, ПК-17, ПК-24

Тема 5. Пределы и непрерывность функций
16
6
2
4
1
10
ПК-15, ПК-17, ПК-25

Тема 6. Дифференциальное исчисление
16
6
2
4
1
10
ПК-15, ПК-17, ПК-26

Всего за 1 семестр
90
32
10
22
6
58
 

Семестр 2

Тема 7. Числовые и степенные ряды
7
3
1
2
1
4
ПК-15, ПК-17, ПК-21

Тема 8. Комплексные числа
9
5
1
4
1
4
ПК-15, ПК-17, ПК-22

Тема 9.Неопределенный интеграл
12
6
2
4
1
6
ОК-7, ПК-3, ПК-17

Тема 10.Определенный интеграл и его применения
12
6
2
4
1
6

·ПК-15, ПК-17, ПК-24

Тема 11. Функции нескольких переменных
12
6
2
4
1
6
ПК-15, ПК-17, ПК-25

Тема 12. Дифференциальные уравнения и системы
11
6
2
4
1
5
ПК-15, ПК-17, ПК-26

Экзамен
27
 
 
 
 
27


Всего за 2 семестр
90
32
10
22
6
58
 

ИТОГО
180
64
20
44
12
143
 

Промежуточный контроль: 1 семестр – зачет, 2 семестр – экзамен

(заочная форма обучения)
 
Объем учебного времени, отведенный на освоение дисциплины

 
5 з.е. / 180 часов

Раздел / темы дисциплины
Всего
Аудиторные занятия
Самост. раб.
Компетенции в рамках результатов обучения (РО)

 

Всего, из них
Лекции
Практич./Семинар.
Контроль самост. работы

 

Курс 1

Тема 1. Элементы теории множеств
14
2
 
2
 
12
ОК-7, ПК-15, ПК-17

Тема 2. Основы математической логики
13
1
1
 
 
12
ОК-7, ПК-3

Тема 3. Функция
13
1
1
 
 
12
ОК-7, ПК-3

Тема 4. Последовательности и их пределы
14
2
 
2
 
12
ПК-15, ПК-17, ПК-24

Тема 5. Пределы и непрерывность функций
15
3
1
2
 
12
ПК-15, ПК-17, ПК-25

Тема 6. Дифференциальное исчисление
13
3
1
2
 
10
ПК-15, ПК-17, ПК-26

Тема 7. Числовые и степенные ряды
15
2
 
2
 
13
ПК-15, ПК-17, ПК-21

Тема 8. Комплексные числа
14
2
 
2
 
12
ПК-15, ПК-17, ПК-22

Тема 9.Неопределенный интеграл
13
1
1
 
 
12
ОК-7, ПК-3, ПК-17

Тема 10.Определенный интеграл и его применения
15
3
1
2
 
12
ПК-15, ПК-17, ПК-24

Тема 11. Функции нескольких переменных
15
3
1
2
 
12
ПК-15, ПК-17, ПК-25

Тема 12. Дифференциальные уравнения и системы
13
1
1
 
 
12
ПК-15, ПК-17, ПК-26

Контроль (контр.раб., зачет, экзамен)
13
 
 
 
 
13


ИТОГО
180
24
8
16
0
156
 

Промежуточный контроль: 1 курс – экзамен, экзамен


1.4 СООТНОШЕНИЕ ТЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ПРИМЕНЯЕМЫХ ФОРМ, ТЕХНОЛОГИЙ ОБУЧЕНИЯ
Раздел, тема
дисциплины

Форма обучения
Образовательные технологии



проблемного обучения
IT-технологии
поисковые
обуч. на основе опыта
проектного обучения
Case-study
исследовательские
командной работы
игровые
другие

Темы 1-12

Лекция

+



+






Практич. занятие
+
+


+


+
+



Лабораторная работа












Самостоятельная работа


+
+








Другие













1.5 ОРГАНИЗАЦИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
1.5.1 Практические занятия (дневная форма обучения)
Раздел, тема дисциплины (код по 1.2 или 1.3 Программы дисциплины)
Номер работы
Тема занятия
Объем учебного времени з.е./час
Сроки – семестр, учебная неделя

Тема 1
1
Элементы теории множеств
0,18
1, 1-2

Тема 2
2
Основы математической логики
0,18
1, 3-6

Тема 3
3
Функция, как отображение. Элементарные функции
0,12
1, 7-9

Тема 4
4
Последовательности и их пределы
0,15
1, 10-11

Тема 5
5
Пределы и непрерывность функций
0,18
1, 12-13

Тема 6
6
Дифференциальное исчисление
0,18
1, 14-16

Тема 7
7
Числовые и степенные ряды
0,12
2, 1-2

Тема 8
8
Комплексные числа
0,18
2, 3-4

Тема 9
9
Неопределенный интеграл
0,18
2, 5-8

Тема 10
10
Определенный интеграл и его применения
0,18
2, 9-12

Тема 11
11
Функции нескольких переменных
0,18
2, 13-14

Тема 12
12
Дифференциальные уравнения и системы
0,15
2, 15-16


1.5.2 Самостоятельная работа студентов
Раздел, тема модуля-дисциплины
Номер работы
Виды самостоятельной работы студентов
Объем учебного времени з.е./час
Сроки – семестр, учебная неделя

Тема 1-6
1-6
Чтение рекомендуемой основной и дополнительной литературы, повторение лекционного материала, решение домашних заданий
1,00 / 33
Семестр – первый;
Неделя – 1-16

Тема 7-12
7-12
Чтение рекомендуемой основной и дополнительной литературы, повторение лекционного материала, решение домашних заданий
1,00 / 33
Семестр – второй;
Неделя – 1-16


1.6 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

1.6.1 Процедуры текущего, промежуточного контроля и оценивания освоения дисциплины
Мероприятия текущего и промежуточного контроля
Раздел, тема дисциплины
Сроки – семестр, учебная неделя

Контроль самостоятельной работы №1, проверка домашних заданий
Темы 1- 2. Элементы теории множеств и математической логики
Первый семестр, 6 неделя

Контроль самостоятельной работы №2, тестирование
Тема 3-5. Последовательности функции
Первый семестр, 13 неделя

Контроль самостоятельной работы №3, тестирование
Тема 6. Дифференциальное исчисление
Первый семестр, 16 неделя

Зачет
Темы 1-6.
Первый семестр

Контроль самостоятельной работы №4, проверка домашних заданий
Темы 7-8. Ряды и комплексные числа
Второй семестр, 4 неделя

Контроль самостоятельной работы №5, тестирование
Тема 9-10. Интегральное исчисление
Второй семестр, 12 неделя

Контроль самостоятельной работы №6, тестирование
Тема 11-12. Дифференциальные уравнения
Второй семестр, 16 неделя

Экзамен
Темы 7-12
Второй семестр


ТЕМЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
Элементарные функции
Производные.
Интегралы.
Решение задач системы тестирования FEPO.

1.6.2 Примерная тематика мероприятий промежуточного контроля
Форма итогового контроля – 1 семестр - зачет, экзамен.

Перечень контрольных вопросов для подготовки к итоговой аттестации по дисциплине (экзамен)
Вопросы к первой части дисциплины

Понятие множества. Описание Кантора. Операции над множествами.
Задача. Опишите в виде кругов Эйлера множество 13 QUOTE 1415
Числовые множества. Натуральные и целые числа. Рациональные числа и способы их представления. Периодические и правильные дроби и алгоритмы перехода между ними.
Задача. Вычислите 2,3(4) + 1,7(5). Представьте результат также в виде десятичной периодической дроби.
Числовые множества. Действительные числа. Существование иррациональных чисел. Понятие трансцендентных чисел.
Задача. Докажите, число 13 QUOTE 1415 не является рациональным.
Мощность множества. Конечные и бесконечные множества. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел. Континуум-гипотеза.
Задача. Какова мощность множества 13 QUOTE 1415?
Задача. Какова мощность множества положительных четных чисел?
Понятие функции, как отображения между множествами. Классификация отображений: сюръекция, биекция, инъекция. Одномерные числовые функции. Способы задания функции: аналитический, табличный, графический. Переходы между ними.
Сложные функции. Композиция функций. Обратные функции. Связь между сложными и обратными функциями.
Задача. Представьте в виде диаграммы множеств и композиции элементарных функций следующие сложные функции (13 EMBED Equation.3 1415),13 EMBED Equation.3 1415
Графики функций одной переменной. Область определения и область значений функции. Классификация функций: четность, периодичность, ограниченность. Преобразования графика функции при элементарных преобразованиях самой функции.
Задача. Постройте на базе графика функции y=x2, график функции y=2(2x-3)2
Элементарные функции и их свойства. Графики элементарных функций. Построение графиков функций с помощью Excel.
Задача. Какая функция растет быстрее 13 QUOTE 1415
Задача. Постройте геометрическим способом график функции 13 QUOTE 1415
Понятие модуля. Решение модульных уравнений и неравенств. Построение графиков функций, содержащих модули.
Задача. Решите уравнение 13 QUOTE 1415
Кванторы логики. Операции импликации и эквивалентности. Компактная запись математических утверждений с использованием кванторов. Отрицание кванторов.
Задача. Запишите на языке логических кванторов определение предела функции. «Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x(a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число (, можно найти такое ( >0 (зависящее от (), что для всех x, лежащих в (-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 < (x-a( < (, значения функции f(x) будут лежать в (-окрестности числа А, т.е. (f(x)-A ( < (.»

Элементы математической логики. Логические операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Таблицы истинности. Эквивалентность логических выражений.
Задача. Докажите эквивалентность логических утверждений 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415. Сформулируйте фразу «Зимой всегда холодно» эквивалентным образом.
Задача. Докажите эквивалентность логических утверждений 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415. Сформулируйте отрицание фразы «Зимой всегда холодно».
Виды математических теорем и утверждений. Утверждения-следствия, утверждения-эквивалентности. Различные варианты формулировок теорем. Построение отрицаний к утверждениям.
Последовательность. Классификация последовательностей. Свойства ограниченности и монотонности последовательностей на языке кванторов логики. Понятие предела. Конечный и бесконечный пределы. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
Задача. Вычислить предел 13 EMBED Equation.3 1415.

Виды неопределенностей: 0/0,
·/
·, 1
·,
·-
·. Их отличие от записей вида 1/0, 1/
·. Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы.
Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. Перестановка символов предела и функции. Свойства функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема Веерштрасса. Теорема Больцано-Коши.
Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке. Соотношение между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
Задача 1. Написать уравнение касательной к кривой 13 EMBED Equation.3 1415в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
Связь между приращением функции и производной. Дифференциал функции. Свойства производной. Производная суммы, произведения, частного с доказательством. Производные высших порядков. Примеры разрывных производных. Формулы численного дифференцирования первого и второго порядков. Проверка правильности вычисления производной с помощью численного дифференцирования.
Задача. Найти дифференциал функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача. Вычислить приближённо, используя понятие дифференциала: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача. Найти приращение функции 13 EMBED Equation.3 1415в точке x=2 при
·x=0,01.

Производные элементарных функций. Производная сложной и обратной функции. Графики обратных функций. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.
Задача 1. Вычислите производные следующих функций: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415; д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415; ж) 13 EMBED Equation.3 1415з) y=13 EMBED Equation.2 1415.
Задача 2. Вычислите производные следующих функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 3. Вычислите производные сложных функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Задача. Найти предел функции y =13 EMBED Equation.2 1415 при x ( 0
Общая схема исследования функции одной переменной. Интервалы возрастания и убывания. Стационарные точки и точки экстремума. Необходимые и достаточные условия экстремума. Понятие выпуклости и вогнутости. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. Ассимптоты. Определение. Наклонные и вертикальные асимптоты. Построения графика функции. Построение графиков первой и второй производной по графику исходной функции.
Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [–4;3].
Задача 2. Исследовать функцию и построить график: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вопросы ко второй части дисциплины

Выполнить указанные операции: а) (2 - i)(2 + i)2 - (3 - 2i) + 7; б) (1 + i)4;
Делится ли многочлен x4 + 2x2 + 4(1 + i) на x - 1 + i?
Даны комплексные числа z1 = -2 + 5i и z2 = 3 - 4i. Найти: а) z1 + z2; б) z2 - z1; в) z1z2; г) z1/z2.
Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме: а) -3; б) -i; в) 1 + i;
Решить уравнение z6 + 1 = 0.
Первообразная функция. Геометрический способ построения первообразной по графику исходной функции. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов элементарных функций.
Задача. 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415;

Интегрирование методом замены переменной.
Задача. 13 EMBED Equation.3 1415; д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415.
Метод интегрирования по частям с доказательством.
Задача. 13 EMBED Equation.3 1415; а) 13 EMBED Equation.3 1415;
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Задача. 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Определенный интеграл, как площадь подграфика. Построение первообразной, как функции накопления площади. Связь между первообразной и площадью. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенных интегралов.
Задача. 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415;: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415 (3 балла).

Вычисление объемов фигур вращения. Объем конуса. Вычисление длин дуг графиков. Длина дуги синуса.
Задача. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
13 EMBED Equation.3 1415;
Задача. Найти объёмы тел, образованных при вращении вокруг осей Ox и Oy плоских фигур, ограниченных линиями: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
13 EMBED Equation.3 1415;
Задача. Найти объёмы тел, образованных при вращении вокруг осей Ox и Oy плоских фигур, ограниченных линиями: 13 EMBED Equation.3 1415
Найти частные производные первого порядка функции двух переменных 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решить обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Сделать проверку подстановкой найденного решения в уравнение. Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти частные производные первого порядка функции двух переменных 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решить обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Сделать проверку подстановкой найденного решения в уравнение. Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



1.7 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1.7.1 Рекомендуемая литература
Основная литература
Шолохович, Ф.А. Высшая математика в кратком изложении.: учеб. / Ф.А.Шолохович; Урал.гос.ун-т, Урал. ин-т экономики, управления и права. 4-е изд., испр. и доп. Екатеринбург: Урал. изд-во Большая Медведица, 2008.
Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учебно-справочное пособие / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Юрайт, 2010. - 646 с.
Назаров Д.М. Математический анализ: метод. указания к выполнению контр. работ для студентов всех форм обучения / Д.М.Назаров, П.Ю. Осиновой. Нижний Tагил: Урал. ин-т экономики, управления и права, 2008.
Дополнительная литература
Шипачев В. С. Высшая математика / В.С. Шипачев. М.: Высшая школа, 2007. - 479 с.
Шипачев В. С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачев. М.: Высшая школа, 2007. - 304с.
Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов / Н.Ш. Кремер. М.: ЮНИТИ, 2007. - 479 с.
Красс М. С. Математика для экономистов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. СПб.: Питер, 2007. - 464 с.
Шолохович Ф.А. Основы высшей математики / Ф.А. Шолохович , В.В. Васин. Екатеринбург: Уральское изд-во, 2003.
Комплексные числа. http://pmpu.ru/vf4/complex_num
1.7.2 Программное обеспечение
Пакет прикладных программ MS Office
ОС Debian GNU/Linux
Пакет прикладных программ OpenOffice.org
1.7.3 Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
http://www.metabot.ru/
asknet.ru
1.8 УЧЕБНО-МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Для проведения лекционных занятий необходима аудитория с мультимедийным оборудованием.
1.9 МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В основу балльно-рейтинговой системы положены принципы, в соответствии с которыми формирование рейтинга студента осуществляется постоянно в процессе его обучения. Система оценки успеваемости студентов основана на использовании совокупности контрольных точек, оптимально расположенных на всем временном интервале изучения дисциплины. При этом предполагается разделение всего курса на ряд более или менее самостоятельных и логически завершенных блоков и модулей и проведение по ним промежуточного контроля.
Распределение баллов, составляющих основу оценки работы студента по изучению дисциплины «Математика» в течение 1 и 2 семестров:

Самостоятельная работа студентов
1, 2 семестр


Количество баллов


Зачетный минимум
Зачетный максимум

Контроль самостоятельной работы №1, проверка домашних заданий
20
100

Контроль самостоятельной работы №2, тестирование
20
100

Контроль самостоятельной работы №3, тестирование
20
100

Зачет, 1 семестр
20
100

Итого за 1 семестр, средне взвешенная оценка
20
100

Контроль самостоятельной работы №4, проверка домашних заданий
20
100

Контроль самостоятельной работы №5, проверка домашних заданий
20
100

Контроль самостоятельной работы №6, тестирование
20
100

Экзамен, 2 семестр
20
100

Итого за 2 семестр, средне взвешенная оценка
20
100


Итоговая оценка по курсу: Для формирования итоговой оценки за семестр рассчитывается средняя взвешенная величина: 80% оценки составляет работа студента в течение семестра (среднее количество набранных баллов по каждому виду самостоятельной работы) и 20% оценки составляет ответ на экзамене - при условии, что студент по каждому виду набрал количество баллов не менее зачетного минимума.
Соответствие баллов рейтинга числовым оценкам за 1, 2 семестры:
менее 20 баллов – «неудовлетворительно»;
20-60 баллов – «удовлетворительно»;
60- 90 баллов – «хорошо»;
90-100 баллов – «отлично».








13 PAGE \* MERGEFORMAT 141915





Приложенные файлы

  • doc 87415009
    Размер файла: 529 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий