Функциональные последовательности и ряды. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Форма аттестации. 1 Экзамен (Зачет). Оценочные средства. 2 Комплект экзаменационных билетов.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.

1


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
"ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ И.С.ТУРГЕНЕВА"

ФИЗИКО
-
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ



Кафедра математическ
ого анализа и

дифференциальных уравнений



Соломатин Олег Дмитриевич

44.03.05
-
17
-
о
-

5




МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



Рабочая программа дисциплины

Тип образовательной программы: Академический бакалавриат

Форма обучения: очная




На
правление подготовки: 44.03.
05

Педагогическое образование с двумя
профилями подготовки

Направленность п
рофиль
)
: Математика и Физика






Орел
2017


2

Автор
к.ф.
-
м.н., доцент, Соломатин О. Д.



Рецензент

к.ф.
-
м.н., доцент, Можарова Т.Н.




Рабочая программа разработана в соответст
вии с Федеральным
государственным образовательным стандартом высшего образования,
утвержденным приказом Министерства образования и науки Российской
Федерации от 09.02.2016 №91 по направлению подготовки 44.03.05
Педагогическое образование с двумя профилями

подготовки.



Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры 
математического
ан
а
лиза и дифференциальных уравнений


Протокол


6

от 
6

июня

2017
г.

Зав. кафедрой
доктор физико
-
математических наук, профессор

Зарубин А. Н.



Рабочая программа согласов
ана с кафедрой Геометрии и методики
препод
а
вания математики, за которой закреплено направление подготовки

Зав.кафедрой
доктор педагогических наук, профессор,

Тарасова О. В.



Рабочая программа
утверждена

на заседании

Н
МС

факультета



Физико
-
математичес
кий факультет


Протокол №
6

от 
30

июня

2017
г.


Председатель Н
МС

к.п.н., доцент, Зубкова Л.Н.


3

Содержание


1 Цели и задачи освоения дисциплины



2 Место дисциплины в структуре
образовательной программы




3 Планируемые результаты обучения по дисциплине


4 Структура дисциплины и распределение её трудоёмкости


5 Содержание дисциплины




6 Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

и
учебно
-
методическое обеспечение самостоятельной работы


7 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной

аттестации обучающихся по дисциплине




8 Перечень основной и доп
олнительной учебной литературы,

необходимой для освоения дисциплины



8.1 Основная литература




8.2 Дополнительная литература



9 Перечень ресурсов информационно
-
телекоммуникационной

сети Интернет, необходимых для освоения дисциплины


10 П
еречень информационных технологий, используемых

при осуществлении образовательного процесса по дисциплине


11 Материально
-
техническое обеспечение дисциплины






4

1
Цели и задачи освоения дисциплины


Курс математического анализа имее
т общеобразовательное и
прикладное значение. Его методы находят дальнейшее развитие в таких
математических дисциплинах, как функциональный анализ, теория функций
комплексного переменного.
Р
езультаты
курса
используются в
дифференциальных уравнениях, численн
ых методах анализа, вариационном
исчислении, дифференциальной геометрии, теоретической физике и других
областях науки и ее приложений.

Цель дисциплины

-

содействие становлению специальной
профессиональной компетентности бакалавра математического образовани
я
на основе фундаментальной подготовки студентов в области
математического анализа, научное обоснование таких математических
понятий как функция, предел, непрерывность, производная, интеграл,
первоначальное представление о которых дается в средней школе.

З
адачи дисциплины:

1. Изучение функций и их обобщений методом пределов или методом
бесконечно малых.

2. Формирование представлений об основах математического
анализа, объединяющих в себе теорию действительного числа, теорию
пределов, теорию рядов, дифференц
иальное и интегральное исчисление и их
непосредственные приложения, такие, как теория максимумов и минимумов,
теория неявных функций, ряды Фурье, интегралы Фурье.

3. Изучение основ теории рядов, методов их исследования,
применение к решению теоретических и

прикладных задач.

4. Изучение основ теории несобственных интегралов.

5. Изучение основ теории интегралов, зависящих от параметра.

6. Развитие математического и алгоритмического мышления у
студентов.

7. Овладение студентами основными методами исследования
для
решения математических задач, выработка навыков применения полученных
теоретических знаний для решения прикладных задач.

8. Проведение преемственной связи данной дисциплины с физикой,
информатикой, теорией вероятностей, функциональным анализом и другим
и.

9. Подготовка студентов к самостоятельному изучению тех разделов
математики, которые применяются в практической и исследовательской
работе специалистов
-
математиков.

10. Повышение уровня математических знаний и навыков у студентов
с учетом их последующей

специализации.




5

2
Место дисциплины в структуре
образовательной программы


Настоящая дисциплина относится
к вариативной части
образовательной программы
.
Курс предназначен для студентов по
направлению подготовки бакалавра, читается в 1
-
6

семестрах. В пер
вом
семестре от слушателей не

требуется никаких предварительных знаний сверх
программы средней школы. Начиная со второго семестра
,

требуется знание
понятий, определений, теорем, методов, изученных в рамках курсов Алгебра
и аналитическая геометрия в объеме

пройденного материала по указанному
курсу, дискретная математика и математическая логика в объеме
пройденного материала по указанному курсу. Программа соответствует
требованиям ГОС. В данном курсе рассматриваются основные разделы
математического анализ
а, образующие элемент базового образования
студентов по данному направлению.

Сведения, полученные при изучении данного курса, будут
использоваться в таких математических дисциплинах, как функциональный
анализ, теория функций комплексного переменного. Его
результаты
используются в дифференциальных уравнениях, численных методах анализа,
вариационном исчислении, дифференциальной геометрии, теоретической
физике и других областях науки и ее приложений.




6

3 Планируемые результаты обучения по дисциплине


Таблиц
а 1
-

Планируемые результаты обучения по дисциплине

Формируемые компетенции

Планируемые результаты обучения по
дисциплине

Требования к формируемым знаниям, умениям
и навыкам

ОК
-
3
,

2 этап

способность использовать
естественнонаучные и
математические знани
я для
ориентирования в современном
информационном пространстве

Знать

базовые экономические понятия,
объективные основы
функционирования экономики и
поведения экономических агентов;

Знать основные виды финансовых
институтов и финансовых
инструментов , основ
ы
функционирования финансовых
рынков; сущность и составные части
издержек производства, источники и
способы оптимизации издержек и
прибыли фирм; основы
ценообразования на рынках товаров
и услуг; условия функционирования
национальной экономики, понятие и
фа
кторы экономического роста;
состав, структуру и способы расчета
основных показателей результатов
национального производства;
значение государственной
экономической политики в
повышении эффективности
экономики и роста благосостояния
граждан, формы ее осущес
твления,
основные методы и инструменты ее
осуществления; основы российской
налоговой системы; основы
управления рисками основные виды
рисков, методы идентификации,
измерения и оценки рисков; методы
управления рисками: уклонение от
риска, превентивные меры
, контроль
риска и финансирование риска,
разделение, страховая и не страховая
передача рисков;

Владеть

методами личного финансового
планирования бюджетирование,
оценка будущих доходов и расходов,
сравнение условий различных
финансовых продуктов, управ
ление
рисками, применение инструментов
защиты прав потребителя
финансовых услуг

Уметь

использовать понятийный аппарат
экономической науки для описания

7

экономических и финансовых
процессов;


искать и собирать финансовую и
экономическую информацию;


ан
ализировать финансовую и
экономическую информацию,
необходимую для принятия
обоснованных решений в сфере
личных финансов; оценивать
процентные, кредитные, курсовые,
рыночные, операционные,
общеэкономические, политические
риски неблагоприятных
экономическ
их и политических
событий для личных финансов;
решать типичные задачи, связанные с
личным финансовым планированием
рассчитать процентные ставки,
оценить целесообразность взятия
кредита с точки зрения текущих и
будущих доходов и расходов,
оценить эффективн
ость
страхования;

ПК
-
1
,

2 этап

готовность реализовывать
образовательные программы по
учебным предметам в соответствии с
требованиями образовательных
стандартов

Знать

методы математического
моделирования.

Владеть

способностью к определению общих
форм и

закономерностей отдельной
предметной области

Уметь

определять общие формы и
закономерности предметной области.

ПК
-
4
,

2 этап

способность использовать
возможности образовательной среды
для достижения личностных,
метапредметных и предметных
результатов о
бучения и обеспечения
качества учебно
-
воспитательного
процесса средствами преподаваемых
учебных предметов

Знать

в достаточном объеме сведения об
изучаемых объектах

Владеть

строить математические модели
изучаемых явлений и излагать
результаты

Уметь

на
выками дискуссии способностью
публично представлять собственные
и известные научные результаты

ПК
-
11
,

2 этап

готовность использовать
систематизированные теоретические
и практические знания для
постановки и решения
исследовательских задач в области
образов
ания

Знать

математические основы

Владеть

способностью к проведению
методических и экспертных работ в
области математики

Уметь

проводить методические и
экспертные работ в области
математики



8

4 Структура дисциплины и распределение её трудоёмкости


Т
аблица 2
-

Структура дисциплины и распределение ее трудоемкости

Вид учебной
работы


Всего,
кол.


За 1
семестр,
кол.


За 2
семестр,
кол.


За 3
семестр,
кол.


За 4
семестр,
кол.


За 5

семестр,

кол.

За 6

семестр,

кол.

час
ов

заня
тий

часов

заня
тий

часов

заня
т
ий

часов

заня
тий

часов

заня
тий

часов

занят
ий

часов

заняти
й

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1 Контактная
работа, всего

364

128

68

34

68

34

60

30

60

30

54


27


54


27

Лекции лек

1
60

60

32

16

32

16

28

14

28

14

20

10

20

10


Практические
заняти
я пр

204

68

36

18

36

18

32

16

32

16


34



17


34


17

2
Самостоятел
ьная работа
всего


в том числе

1
76


40


4


48


12




18






54


Прочие виды
самостоятельн
ой работы

1
76


40


4


48


12



18




54


3
Промежуточ
ная
аттестация
форма

1
44


Экзамен
(36)



Экзамен
(36)



Экзамен
(36)



Зачет




Зачет


Экзамен


(36)

Общая
трудоемкость
дисциплины
в часах:

684


144


108


144


72




72


144

Общая
трудоемкость
дисциплины
в зачетных
единицах:

1
9


4


3


4


2




2




4





9

5
Содержание

дисциплины


Таблица 3


Технологическая карта учебной дисциплины

Вид и № занятия

Тема занятия

Контактная
работа, час.

Самостоятельна
я работа, час.

Всего, час.

1

2

3

4

5

Семестр №1

Раздел №1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ





лек №1

Предварительные сведения о ма
тематическом анализе. Предмет
математического анализа. Исторические сведения. Сведения о
множествах и логической символике

2

2

4

лек №2

Действительные числа. Алгебраические свойства множества
действительных чисел; аксиома полноты множества

2

2

4

лек №3

Действия над действительными числами. Принцип Архимеда.
Изображение действительных чисел на прямой

2

2

4

лек №4

Модуль действительного числа

2

2

4

лек №5

Ограниченные и неограниченные множества: существование
точной верхней нижней грани числового множ
ества. Промежутки

2

2

4

лек №6

Отображения и функции. Отображения и их общие свойства

2

0

2

лек №7

Действительная функция действительной переменной. Область
определения и множество значений. График функции. Способы
задания

2

2

4

лек №8

Арифметические де
йствия над функциями. Композиция функций.
2

2

4


10

Сужение функции

лек №9

Числовые последовательности. Подпоследовательности.
Монотонность, ограниченность, четность и нечетность,
периодичность

2

2

4

лек №10

Обратная функция

2

2

4

лек №11

Предел. Предел чис
ловой последовательности

2

2

4

лек №12

Основные свойства и признаки существования предела

2

2

4

лек №13

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их
свойства

2

2

4

лек №14

Предельные точки множества и теорема Больцано
-
Вейерштрасса о
выд
елении сходящейся подпоследовательности

2

2

4

лек №15

Предел монотонной последовательности. Число е

2

2

4

лек №16

Принцип вложенных отрезков. Представление действительных
чисел бесконечными десятичными дробями

2

2

4

пр №1

Предварительные сведения о мат
ематическом анализе. Предмет
математического анализа. Исторические сведения. Сведения о
множествах и логической символике

2

0

2

пр №2

Действительные числа. Алгебраические свойства множества
действительных чисел; аксиома полноты множества

2

1

3

пр №3

Де
йствия над действительными числами. Принцип Архимеда.
Изображение действительных чисел на прямой

2

1

3

пр №4

Модуль действительного числа

2

1

3

пр №5

Ограниченные и неограниченные множества: существование
точной верхней нижней грани числового множества
. Промежутки

2

0

2

пр №6

Отображения и функции. Отображения и их общие свойства

2

0

2

пр №7

Действительная функция действительной переменной. Область
определения и множество значений. График функции. Способы
задания

2

0

2

пр №8

Арифметические действия н
ад функциями. Композиция функций.
Сужение функции

2

1

3

пр №9

Числовые последовательности. Подпоследовательности.
Монотонность, ограниченность, четность и нечетность,
периодичность

2

1

3


11

пр №10

Обратная функция

2

0

2

пр №11

Предел. Предел числовой после
довательности

2

0

2

пр №12

Основные свойства и признаки существования предела

2

0

2

пр №13

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их
свойства

2

1

3

пр №14

Предельные точки множества и теорема Больцано
-
Вейерштрасса о
выделении сходяще
йся подпоследовательности

2

1

3

пр №15

Предел монотонной последовательности.

2

1

3

пр №16

Принцип вложенных отрезков. Представление действительных
чисел бесконечными десятичными дробями

2

1

3

пр №17

Критерий Коши существования предела числовой
последова
тельности. Верхний и нижний пределы числовой
последовательности

2

0

2

пр №18

Топология . Предел функции в точке. Свойства пределов

2

1

3

Итого по разделу:

68

40

108

Промежуточная аттестация: экз
амен


36

36

Итого по семестру:

68

76

144

Семестр №2

Р
аздел №2 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ




лек №17

Дифференцируемые функции. Производная и дифференциал.
Дифференцируемость функции в точке

2

1

5

лек №18

Производная и дифференциал функции в точке, их геометрически
й
и механический смысл

2


5

лек №19

Правила дифференцирования. Производные и дифференциалы
высших порядков; формула Лейбница

2


5

лек №20

Основные теоремы дифференциального исчисления и их
приложения. Теоремы Ферма, Дарбу, Ролля, Лагранжа и Коши

2


5

ле
к №21

Раскрытие неопределенностей

2


5

лек №22

Локальная формула Тейлора. Асимптотические разложения
элементарных функций

2


5

лек №23

Формула Тейлора с остаточным членом

2


5


12

лек №24

Применение дифференциального исчисления к исследованию
функций: призн
аки постоянства, монотонности; экстремумы;
выпуклость; точки перегиба

2


5

лек №25

Геометрические приложения

2

1

5

лек №26

Неопределенный интеграл. Первообразная функция и
неопределенный интеграл

2


5

лек №27

Свойства неопределенного интеграла. Таблица
основных
интегралов

2


5

лек №28

Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям

2


5

лек №29

Интегрирование рациональных функций

2


5

лек №30

Интегрирование некоторых простейших иррациональных и
трансцендентных функций

2


5

лек №31

Определ
енный интеграл. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла

2


5

лек №32

Определенный интеграл Римана. Критерии интегрируемости

2


5

пр №19

Дифференцируемые функции. Производная и дифференциал.
Дифференцируемость функции в точке

2


5

пр №20

Про
изводная и дифференциал функции в точке, их геометрический
и механический смысл

2


6

пр №21

Правила дифференцирования. Производные и дифференциалы
высших порядков; формула Лейбница

2


5

пр №22

Основные теоремы дифференциального исчисления и их
приложения
. Теоремы Ферма, Дарбу, Ролля, Лагранжа и Коши

2


6

пр №23

Раскрытие неопределенностей

2


6

пр №24

Локальная формула Тейлора. Асимптотические разложения
элементарных функций

2

1

6

пр №25

Формула Тейлора с остаточным членом

2


6

пр №26

Применение диффер
енциального исчисления к исследованию
функций: признаки постоянства, монотонности; экстремумы;
выпуклость; точки перегиба

2


6

пр №27

Геометрические приложения

2

1

6

пр №28

Неопределенный интеграл. Первообразная функция и
неопределенный интеграл

2


5


13

пр

№29

Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных
интегралов

2


6

пр №30

Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям

2


6

пр №31

Интегрирование рациональных функций

2


5

пр №32

Интегрирование некоторых простейших иррациональных и

трансцендентных функций

2


5

пр №33

Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла

2


5

пр №34

Определенный интеграл Римана. Критерии интегрируемости

2


5

пр №35

Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции и
огр
аниченной функции с конечным числом точек разрыва

2


6

пр №36

Свойства определенного интеграла, теорема о среднем значении

2


5

Итого по разделу:

68

4

72

Промежуточная аттестация: экз
амен


36

36

Итого по семестру:

68

40

108

Семестр №3

Раздел №3 
ЧИ
СЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ




лек №33

Числовые ряды. Сходимость и сумма числового ряда. Критерий
Коши

2

2

4

лек №34

Знакопостоянные ряды: сравнение рядов

2

2

4

лек №35

Признаки сходимости Даламбера, Коши; интегральный пр
изнак
сходимости

2

2

4

лек №36

Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость

2

2

4

лек №37

Преобразование Абеля и его применение к рядам

2

2

4

лек №38

Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана

2

2

4

лек №39

Операции над рядами

2

2

4

лек №40

Двойные ряды

2

2

4

лек №41

Понятие о бесконечных произведениях

2

2

4

лек №42

Функциональные последовательности и ряды. Функциональная
последовательность и функциональный ряд. Область сходимости

2

2

4

лек №43

Равномерная сходимость. Призн
аки равномерной сходимости

2

2

4


14

лек №44

Теорема о предельном переходе. Теоремы о непрерывности,
почленном интегрировании и дифференцировании

2

2

4

лек №45

Степенные ряды. Понятие степенного ряда. Интервал и радиус
сходимости. Формула Коши
-
Адамара

2

2

4

лек №46

Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда.
Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов

2

2

4

пр №37

Числовые ряды. Сходимость и сумма числового ряда. Критерий
Коши

2

2

4

пр №38

Знакопостоянные ряды: сравнение
рядов

2

2

4

пр №39

Признаки сходимости Даламбера, Коши; интегральный признак
сходимости

2

0

2

пр №40

Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость

2

2

4

пр №41

Преобразование Абеля и его применение к рядам

2

2

4

пр №42

Перестановка членов абсолютн
о сходящегося ряда. Теорема Римана

2

2

4

пр №43

Операции над рядами

2

2

4

пр №44

Двойные ряды

2

2

4

пр №45

Понятие о бесконечных произведениях

2

2

4

пр №46

Функциональные последовательности и ряды. Функциональная
последовательность и функциональный ряд
. Область сходимости

2

2

4

пр №47

Функциональные последовательности и ряды. Функциональная
последовательность и функциональный ряд. Область сходимости

2

2

4

пр №48

Равномерная сходимость. Признаки равно
-
мерной сходимости

2

0

2

пр №49

Теорема о предельно
м переходе. Теоремы о непрерывности,
о
почленном интегрировании и дифференцировании

2

0

2

пр №50

Степенные ряды. Понятие степенного ряда. Интервал и радиус
сходимости. Формула Коши
-
Адамара

2

0

2

пр №51

Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенн
ого ряда.
Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов

2

0

2

пр №52

Ряд Тейлора

2

0

2

Итого по разделу:

60

48

108

Промежуточная аттестация: экз
амен


36

36

Итого по семестру:

60

84

144

Семестр №4


15

Раздел №4 
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПА
РАМЕТРА.

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ




лек №47

Собственные интегралы, зависящие от параметра: непрерывность,
дифференцирование и интегрирование по параметру

2

0

2

лек №48

Несобственные интегралы, зависящие от параметра: равномерная
сходимость, не
прерывность, дифференцирование и интегрирование
по параметру

2

0

2

лек №49

Применение к вычислению некоторых интегралов

2

0

2

лек №50

Функции, определяемые с помощью интегралов

2

0

2

лек №51

Бета
-
функция Эйлера

2

0

2

лек №52

Гамма
-
функция Эйлера

2

0

2

лек №53

Интеграл Фурье

2

0

2

лек №54

Преобразование Фурье

2

0

2

лек №55

Двойной интеграл и интегралы высшей кратности. Двойной
интеграл, его геометрическая интерпретация и основные свойства

2

0

2

лек №56

Приведение двойного интеграла к повторному

2

0

2

лек №57

Замена переменных в двойном интеграле

2

0

2

лек №58

Понятие об аддитивных функциях области. Площадь поверхности

2

0

2

лек №59

Механические и физические приложения двойных интегралов

2

0

2

лек №60

Интегралы высшей кратности: их определение, выч
исление и
простейшие свойства

2

0

2

пр №53

Собственные интегралы, зависящие от параметра: непрерывность,
дифференцирование и интегрирование по параметру

2

1

3

пр №54

Несобственные интегралы, зависящие от параметра: равномерная
сходимость, непрерывность,
дифференцирование и интегрирование
по параметру

2

1

3

пр №55

Применение к вычислению некоторых интегралов

2

0

2

пр №56

Функции, определяемые с помощью интегралов

2

0

2

пр №57

Бета
-
функция Эйлера

2

1

3

пр №58

Гамма
-
функция Эйлера

2

0

2

пр №59

Интеграл
Фурье

2

1

3

пр №60

Преобразование Фурье

2

1

3


16

пр №61

Двойной интеграл и интегралы высшей кратности. Двойной
интеграл, его геометрическая интерпретация и основные свойства

2

1

3

пр №62

Приведение двойного интеграла к повторному

2

1

3

пр №63

Замена перем
енных в двойном интеграле

2

0

2

пр №64

Понятие об аддитивных функциях области. Площадь поверхности

2

1

3

пр №65

Механические и физические приложения двойных интегралов

2

1

3

пр №66

Интегралы высшей кратности: их определение, вычисление и
простейшие свой
ства

2

1

3

пр №67

Несобственные кратные интегралы

2

1

3

пр №68

Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности.
Криволинейные интегралы

2

1

3

Итого по разделу:

60

12

72

Промежуточная аттестация: зачет


0

0

Итого по семестру:

60

12

72


Семестр №
5

Раздел №
5


ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО




лек №
61

Понятие множества. Операции над множествами

2

1

3

лек №
62

Счетные множества и их свойства. Эквивалентность множеств

2

1

3

лек №
63

Теорема о несчетности множества действительных чисел.
Мо
щность множества

2

1

3

лек №
64

Мощность множества всех подмножеств данного множества.
Теорема Кантора
-
Бернштейна

2

1

3

лек №
65

Понятие метрического пространства. Примеры метрических
пространств

2

1

3

лек №
66

Открытые и замкнутые множества и их свойства

2

1

3

лек №
67

Канторово множество

2

1

3

лек №
68

Сходимость в метрическом пространстве

2

1

3

лек №
69

Полные метрические пространства

2

1

3

лек №
70

Принцип сжимающих отображений

2

0

2

пр №69

Топологические пространства и их свойства

2

0

2

пр №70

Компак
тные множества в метрических пространствах

2

0

2


17

пр №71

Линейные пространства. Линейные функционалы

2

0

2

пр №72

Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана
-
Банаха

2

0

2

пр №73

Нормированные пространства. Евклидовы пространства. Полные
евкли
довы пространства. Теорема Рисса
-
Фишера. Гильбертово
пространство

2

1

3

пр №74

Топологические линейные пространства. Непрерывные линейные
функционалы

2

1

3

пр №75

Сопряженное пространство и его свойства. Обобщенные функции и
их свойства

2

0

2

пр №76

Пре
образование Фурье обобщенных функций
. Линейные операторы
и их свойства

2

0

2

пр №77

Мера плоских множеств. Общее понятие меры. Лебеговское
продолжение меры

2

1

3

пр №78

Измеримые функции

2

0

2

пр №79

Свойства измеримых функций

2

1

3

пр №80

Интеграл Леб
ега для простых функций. Интеграл Лебега на
множестве конечной меры и его свойства

2

1

3

пр №81

Предельный переход под знаком интеграла Лебега. Интеграл Лебега
по множеству бесконечной меры

2

1

3

пр №82

Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана

2

1

3

пр №83

Интеграл Лебега
-
Стилтьеса

2

0

2

пр №84

Функции ограниченной вариации. Интеграл Римана
-
Стилтьеса

2

1

3

пр №85

Свойства интеграла Стилтьеса. Связь интегралов Римана и
Стилтьеса

2

1

3

Итого по разделу:

54

1
8

72

Промежуточная аттестация: зачет


0

0

Итого по семестру:

54

1
8

72


Семестр №
6

Раздел №
6

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО




лек №
71

Определение комплексных чисел. Операции над ними.
2

2

4


18

Геометрическое изображение комплексных чисел. Понятие модуля
и аргумента комплексного числа

лек №
72

Интерпретация Римана комплексных чисел. Понятие расширенной
комплексной плоскости. Функции комплексного переменного.
Предел функции

2

2

4

лек №
73

Непрерывность функций комплексной переменной.
Функциональные ряды. Моногенность

2

2

4

лек №
74

Ус
ловия Коши
-
Римана. Определение аналитической функции

2

2

4

лек №
75

Гармонические функции. Дифференцирование степенных рядов

2

2

4

лек №
76

Теоремы об обратных функциях. Конформные отображения.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной

2

2

4

лек


77

Линейные и дробно
-
линейные функции. Теорема об образе
окружности при дробно
-
линейном отображении
. Неподвижные
точки дробно
-
линейного отображения

2

2

4

лек №
78

Степенная функция и радикал. Понятие римановой поверхности

2

2

4

лек №
79

Функция Жуковског
о

2

2

4

лек №
80

Показательная и логарифмическая функция. Степень с
произвольным показателем

2

2

4

пр №86

Круговые и обратные круговые функции

2

2

4

пр №87

Интеграл от функции комплексного переменного по кусочно
-
гладкому пути

2

2

4

пр №88

Теорема Коши

2

2

4

пр №89

Первообразная и интеграл

2

2

4

пр №
90

Интегральное определение логарифма

2

2

4

пр №
91

Интегральная формула Коши. Теорема о среднем

2

2

4

пр №
92

Формула Коши для производных аналитической функции
.
Неравенства Коши

2

2

4

пр №
93

Теоремы Лиуви
лля и Мареры. Интеграл типа Коши

2

2

4

пр №
94

Ряд Тейлора

2

2

4

пр №
95

Нули аналитической функции. Изолированность нулей. Свойство
единственности

2

2

4

пр №
96

Ряд Лорана

2

2

4

пр №
97

Классификация изолированных особых точек

2

2

4


19

пр №
98

Разложение ана
литической функции в ряд Лорана в окрестности
бесконечно удаленной точки. Простейшие классы аналитических
функций

2

2

4

пр №
99

Вычет аналитической функции. Теорема о вычетах

2

2

4

пр №
100

Вычисление вычета функции относительно полюса

2

2

4

пр №
101

Логар
ифмический вычет. Теорема о логарифмическом вычете

2

2

4

пр №
102

Применение вычетов к вычислению интегралов

2

2

4

Итого по разделу:

54

54

108

Промежуточная аттестация:
экзамен


36

36

Итого по семестру:

54

90

144

Итого по дисциплине:

364

320

684

Пр
имечания





20

6 Методические указания для обучающихся по освоению
дисциплины

и учебно
-
методическое обеспечение самостоятельной
работы

Для достижения поставленных целей преподавания дисциплины
Математический анализ реализуются следующие средства, способы

и
организационные мероприятия:


изучение теоретического материала дисциплины
Математический анализ на лекциях с использованием компьютерных
технологий;


самостоятельное изучение теоретического материала
дисциплины с использованием
-
ресурсов, и
нформационных баз,
методических разработок, специальной учебной и научной литературы;


закрепление теоретического материала при выполнении
проблемно
-
ориентированных, поисковых, творческих заданий;


активные и интерактивные формы: лекции, семинары,
консул
ьтации, индивидуальные работы, контрольные работы, зачет в 4
семестре и экзамен в 1, 2, 3 семестрах, в том числе активные формы:
проблемная лекция, лекция по готовому конспекту, лекция
-
дискуссия,
лекция
-
погружение, мозговой штурм, вопросно
-
развивающие бесе
ды и
решение типовых задач, занятия по решению проблемных и творческих
задач, контрольно
-
корректирующее занятие. Зачет и экзамен выставляются
после решения всех задач, контрольных работ.


7 Фонд оценочных средств для проведения

промежуточной
аттестации обу
чающихся по дисциплине


Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине представлен в приложении к рабочей
программе дисциплины.


8
Перечень основной и дополнительной учебной литературы,
необходимой для освоения ди
сциплины


8.1
Основная литература


1.

Высшая математика. Часть II. Математический анализ
Электронный ресурс : учебное пособие / В.И. Бухтоярова и др..


Электрон. текстовые данные.


Кемерово: Кемеровская государственная
медицинская академия, 2007.


92
c.


2227
-
8397.


Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/6112.html

2.

Ганиев В.С. Математический анализ. Часть 1 Электронный
ресурс : учебное пособие / В.С. Ганиев.


Электрон. текстовые данные.



21

Самара: Самарский государственный архитектурно
-
строительны
й
университет, ЭБС АСВ, 2013.


172 c.


978
-
5
-
9585
-
0487
-
9.


Режим
доступа:
http://www.iprbookshop.ru/20476.html

3.

Гурьянова К.Н. Математический анализ Электронный ресурс :
учебное пособие / К.Н. Гурьян
ова, У.А. Алексеева, В.В. Бояршинов.


Электрон. текстовые данные.


Екатеринбург: Уральский федеральный
университет, 2014.


332 c.


978
-
5
-
7996
-
1340
-
2.


Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/66542.h
tml

4.

Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальное
уравнение. Примеры и задачи Электронный ресурс : учебное пособие / А.А.
Гусак.


Электрон. текстовые данные.


Минск: ТетраСистемс, 2011.


415 c.


978
-
985
-
536
-
228
-
0.


Режим доступа:
http://www.i
prbookshop.ru/28122.html


8.2
Дополнительная литература

5.
Боронина Е.Б. Математический анализ Электронный ресурс:
учебное пособие / Е.Б. Боронина.


Электрон. текстовые данные.


Саратов: Научная книга, 2012.


159 c.


2227
-
8397.


Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/6298.html

6.
Учебно
-
методическое пособие по дисциплине Математика.
Математический анализ. Часть 1 Электронный ресурс / .


Электрон.
текстовые данные.


М.: Московский технический у
ниверситет связи и
информатики, 2016.


26 c.


2227
-
8397.


Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/61491.html


9
Перечень ресурсов информационно
-
телекоммуникационной сети
Интернет, необходимых для освоения дисциплины


1. Российское образование. Федер
альный образовательный портал
(
www
.
edu
.
ru
);

2. Институт дистанционного образования ТГУ 
www
.
ido
.
tsu
.
ru
);

3. Образовательный математический сайт
Exponenta

(
www
.
exponenta
.
ru
);

4. Пермский государственный технический университет 
www
.
pstu
.
ru
);

5.
www.lib.mex
mat.ru/books/41 http://www.lib.mexmat.ru/books/41h4;&#xt-3t;p4:;&#x-3/4;&#x/-3w;w4w;.li;&#x-5b-;.m1;žx-;m1;zt-;.ru;&#x/b6o;o-3;&#xk4s4;&#x/-34;A-3;

-

электронная библиотека механико
-
математического факультета МГУ;

6.
www
.
newlibrary
.
ru


http
://
www
.
newlibrary
.
ru


-

новая электронная
библиотека;

7.
www
.
edu
.
ru


http
://
www
.
edu
.
ru


-

федеральный портал рос
сийского
образования;

8.
www
.
mathnet
.
ru


http
://
www
.
.
ru


-

общероссийский
математический портал;

9.
www
.
library
.
kemsu
.
ru


http
://
www
.
library
.
kemsu
.
ru


-

электронный
каталог НБ КемГУ;

10.
www
.
elibrary
.
ru

-

научная электронная библиотека;

11.
www
.
matbur
o
.
ru

-

матбюро: решения задач по высшей математике;


22

12.
www
.
nehudlit
.
ru

-

электронная библиотека учебных материалов;

13.
http
://
mech
.
math
.
msu
.
su

-

официальный сайт механико
-
математического факультета МГУ.


10 Перечень информационных технологий, используемых
при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине


1)

Операционные

системы

Windows Vista, Windows Professional 7,
Windows Professional 8.

2)

Пакет

программ

OpenOffice.

3)

Интернет
-
браузеры

Mozilla Fire fox, Google Chrome, Opera
(
крайние

версии
)
и

др
.

4)

Программа просмотра файлов формата
Djview

крайняя версия.

5)

Программа просмотра файлов формата .
pdf

Acrobat

Reader

крайняя версия.

6)

Программа

просмотра файлов формата .
doc

и .
docx

Microsoft

Office

Word

Viewer

крайняя версия.

7)

Пакет

програ
мм

семейства

MS Office: Office Professional Plus (MS
Word, MS Excel, MS Power Point).


11 Материально
-
техническое обеспечение дисциплины




Компьютерные классы с подключением их к системе
телекоммуникаций электронная почта, Интернет;



Аппаратурное и п
рограммное обеспечение для проведения
научно
-
исследовательской работы студентов в рамках практики;



Учебные помещения, оснащенные видеотехникой;



Лаборатории;



Помещения для проведения консультаций в индивидуальной и
групповой форме.




23



ПРИЛОЖЕНИЕ

К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ

ДИСЦИПЛИНЫ












ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ


по дисциплине

Математический анализ



Направление подготовки
: 44.03.05

Педагогическое образование с двумя
профилями подготовки

Направленность профиль
:

Математика и физика





















Орел 2017




24

1.

Перечень оценочных средств и их соответствие планируемым


результатам обучения по дисциплине


Форма

аттестации

Оценочные
средства

Планируемые результаты обучения

индикаторы достижения компетенций

1

2

3

Экзамен

Зачет

Комплект

экзаменационных

билетов

Знать:



основы математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической
геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики,
теории вероятностей, математической статистики и случайных
процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности,
используемые в профессиональной деятельности

З1ОПК
-
1));



содержание процессов самоорганизации и само
образования, их особенностей и технологий реализации,
исходя из целей совершенствования профессиональной деятельности

З1О
ПК
-
3
));



постановки классических задач математики

З1ПК
-
2
))
;

Уметь:



применять фундаментальные знания в области математического ан
ализа, комплексного и
функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии,
дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей,
математической статистики и случайных п
роцессов, численных методов, теоретической механики в
будущей профессиональной деятельности

У1ОПК
-
1));



планировать цели и устанавливать приоритеты при выборе способов принятия решений с учетом условий,
средств, личностных возможностей и временной перс
пективы достижения, осуществления деятельности;
самостоятельно строить процесс овладения информацией, отобранной и структурированной для
выполнения профессиональной деятельности;

У2ОПК
-
3));



математически корректно ставить естественнонаучные задачи

У1
ПК
-
2));

Владеть:



приемами ведения профессиональной деятельности с учетом требований


В1О
П
К
-
1
));



приемами саморегуляции эмоциональных и функциональных состояний при выполнении
профессиональной деятельности; технологиями организации процесса самообраз
ования; приемами
целеполагания во временной перспективе, способами планирования, организации, самоконтроля и
самооценки деятельности

В2О
П
К
-
3
));



способностью математически корректно ставить естественнонаучные задачи, знание постано
-
вок
классических зада
ч математики

В1ПК
-
2)).



25

2.
Критерии и шкалы оценивания

Вид контроля

Форма

аттестации

Оценочные

средства

Критерии оценивания для промежуточной аттестации

Шкала

оценивания

1

2

3

4

5



Промежуточная
аттестация



Экзамен

Зачет






Комплект

экзаме
национных

билетов

Теоретический вопрос

Полное раскрытие теоретического вопроса, материал изложен в
определенной

логической последовательности с демонстрацией знаний в области
эконометрики

10

балла

Раскрытие теоретического вопроса

с незначительн
ыми неточностями

формулировок, материал изложен в определенной логической
последовательности с демонстрацией знаний в области эконометрики

9
-
5
,
1

балла

Поставленный вопрос раскрыт недостаточно полно, отсутствуют отдельные
определения, формулы; в целом
материал изложен в определенной
логической последовательности с частичной демонстрацией знаний в
области эконометрики

5,5
-
3,1
балла

Изложен краткий план ответа на вопрос в определенной логической
последовательности

даны основные определения, приведен
ы формулы с
частичной демонстрацией знаний в области эконометрики

3
-
0
,5 балла

Ответ на вопрос не дан

или приведены лишь отдельные определения и
положения
, у обучающегося отсутствует
целостное представление
об
основных
эконометрических методах

0 балло
в

Практическое задание

Практическое задание выполнено верно с демонстраци
ей теоретических
знаний
;

умени
й

и навык
ов

выбирать
необходимый
мето
д
для решения типовых
задач; навык
ов

формализации и алгоритмизации при решении прикладных
задач; навык
ов
р
ешения типовых задач в об
ласти эконометрики
;

демонстрацией

умени
й

и навык
ов
представлять и обосновывать свои
собственные результаты; навык
ов

анализа и интерпретации полученных
результатов

10

балла




Задание выполнено верно, с демонстраци
ей теоретически
х знаний
; умений и
навыков выб
ирать необходимый метод
для решения типовых задач; навыков
формализации и алгоритмизации при решении прикладных задач; навыков
решения типовых задач в об
ласти эконометрики; демонстрацией частичного
9
-
5 балла


26

владения навыками

представля
ть и обосновывать свои
собственные
результаты, навыками

анализа и интерпретации полученных результатов
отсутствуют отдельные обоснованные выводы или пояснения в решении
задачи

В решении задания допущена негрубая вычислительная ошибка, в свя
зи с
этим, возможно, получены неверные выводы, демонстрация теоретических
знаний, навыков формализации и алгоритмизации при решении прикладных
задач; навыков решения типовых задач в области эконометрики; частичного
владения навыками представлять и обосно
вывать свои собственные
результаты, навыками анализа и интерпретации полученных результатов /
задание выполнено правильно
c

пояснениями не менее, чем на 75%;
демонстрация частичного владения теоретическим материалом; частичного
владения навыками формализац
ии и алгоритмизации при решении
прикладных задач; навыками решения типовых задач в области
эконометрики; частичного владения навыками представлять и обосновывать
свои собственные результаты, навыками анализа и интерпретации
полученных результатов отсутств
уют обоснованные выводы или пояснения
в решении задачи

4,9
-
2,5
балла

Задание выполнено правильно на 50%, демонстрация частичного владения
теоретическим материалом, навыками формализации и алгоритмизации при
решении прикладных задач; навыками решения т
иповых задач в о
бласти
эконометрики
; частичного владения умениями и навыками представлять и
обосновывать свои собственные результаты, навыками анализа и
интерпретации полученных результатов отсутствуют обоснованные выводы
или пояснения в решении задачи

2
,4
-
1,5
балла




Практическое задание верно выполнено на 1/3, демонстрация частичного
владения теоретическим материалом, частичного владения навыками
формализации и алгоритмизации при решении прикладных задач;
частичного владения навыками решения типовых з
адач в области
эконометрики
; отсутствие умений и навыков представлять и обосновывать
свои собственные результаты, навыков анализа и интерпретации полученных
результатов

1 балл




В остальных случаях

0 баллов




Общий балл

за письменный ответ на экзаме
не:

, где



сумма баллов


27


за ответы

Общая оценка за экзамен выводится из общей суммы набранных за семестр баллов на
основе разработанного рейтинг
-
плана:

-

85
-
100 баллов


отлично высокий уровень освоения компетенции;

-

65
-
84 баллов


хорошо повыш
енный уровень освоения компетенции;

-

51
-
64 баллов


удовлетворительно базовый уровень освоения компетенции;

-

менее 51 балла


неудовлетворительно отсутствие сформированности
компетенции.


28

3. Типовые оценочные средства


Примеры теоретических во
просов для промежуточной аттестации по
дисциплине



ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ДОКЛАДОВ, ЭССЕ:


1. Полярная система координат.

2. Основные элементарные функции и их графики.

3. Понятие элементарной функции. Классификация функций.

4. Интерполирование функций.

5. Перв
ый и второй замечательные пределы.

6. Использование предварительного логарифмирования для
вычисления пределов.

7. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

8. Дифференциалы высших порядков и их применение.

9. Экстремум функции трех переменных.

1
0.Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных.

11.Условный экстремум.

12.Метод множителей Лагранжа.

13.Производная сложной функции нескольких переменных.

14.Понятие комплексного числа. Комплексная плоскость.

15.Арифметические операции над комп
лексными числами.

16.Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

17.Возведение в степень и извлечение корня на множестве
комплексных чисел.

18.Исследование функций и построение графиков.

19.Двойной интеграл в полярных координатах.

20.Вычис
ление координат центра тяжести плоской фигуры.

21.Асимптота.

22.Аркфункции.

23.Приложения производной.

24.Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике.

25.Приближенное вычисление определенных интегралов.

26.Вычисление площадей поверхностей тел
вращения.

27.История возникновения дифференциального исчисления.

28.История развития функции.

29.Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона.

30.Производная по направлению. Градиент.

31.Различные определения логарифма.

32.Разные методы интегрирования.

33.Ряд Т
ейлора.

34.Степенные ряды и особые точки аналитической функции.



29

Реферат тематический реферат как форма самостоятельной
учебной деятельности студентов в вузе
-

это рассуждение на определенную
тему на основе обзора литературы нескольких источников информ
ации,
доказательство или опровержение какой
-
то главной мысли тезиса, в
котором информация нескольких источников используется для
аргументации, иллюстрации и т.д. Цель написания реферата научиться:
самостоятельно находить научную литературу по теме; рабо
тать с
литературой; анализировать проблему, факты, явления, систематизировать и
обобщать данные, делать выводы; аргументированно высказывать свои
мысли; оценивать теоретические и практические знания проблемы;
выстраивать логику изложения материала; строить

стилистически грамотное
высказывание научного характера; правильно оформлять научную работу
рисунки, таблицы, цитаты, ссылки, список использованной литературы.

Требования к реферату:

1.

Объем реферата
-

20
-
25 стр. включая титульный лист и список
литера
туры, 14 шрифт, 1.5 интервал объем реферата определяется
преподавателем, учитывая специфику предмета.

2.

Структура реферата включает:

титульный лист, лист оглавления, введение, главы не менее 2
-
х и
параграфы, заключение, список литературы. Названные

структурные
элементы должны быть выделены в тексте. Введение, глава,
заключение должны начинаться с новой страницы.

3.

Текст реферата должен содержать ссылки на используемые источники
информации: учебники, монографии, статьи, интернет
-
ресурсы не
допуск
ается использование сайтов рефератов, дипломов и контрольных
работ в качестве источников для написания рефератов.

Критерии оценки

в соответствии с больно
-
рейтинговой системой:

Максимальное значение баллов за написание реферата 5.


5 баллов
выставляется
студенту, если:



при написании работы выполнены все требования по оформлению
реферата;



тема реферата полностью раскрыта;



цель и задачи реферата соответствуют его теме и достигнуты в
процессе работы;



все используемые источники литературы снабжены пр
авильно
оформленными ссылками.

4 балла

выставляется студенту, если:



при написании работы выполнены все требования по оформлению
реферата;



тема реферата раскрыта, хотя и не полностью;



цель и задачи реферата соответствуют его теме и в основном
достигну
ты в процессе работы, допускается невыполнение не более 1
задачи;


30



не все, но большинство используемых источников литературы
снабжены оформленными ссылками.

3 балла
выставляется студенту, если:



при написании работы выполнены все требования по оформлению
реферата;



тема реферата близка к раскрытию;



цель и задачи реферата относятся к теме, но не раскрывают ее целиком,
в процессе работы большинство задач выполнено;



некоторые источники литератур
ы снабжены правильно оформленными
ссылками.

менее 3 баллов

выставляется студенту, если:



при написании работы выполнены все требования по оформлению
реферата;



реферат в целом соответствует теме, хотя она оказывается и не
раскрыта;



цель и задачи рефера
та слабо соответствуют его теме или не
достигнуты в процессе работы;



большинство более 50% ссылок отсутствует.

Вопросы к коллоквиуму № 1 по математическому анализу

для студентов 1 курса по теме Введение в анализ


1.Предел числовой последовательност
и.

2.Основные свойства сходящихся последовательностей.

3.Бесконечно
-
малые и бесконечно
-
большие последовательности.

4.Арифметические операции над сходящимися последовательностями.

5.Признак сходимости монотонной последовательности.

6.Теорема Кантора о вложе
нных отрезках.

7.Подпоследовательность. Теорема Больцано
-
Вейерштрасса.

8.Критерий Коши сходимости последовательности.

9.Определение предела функции в точке.


Вопросы к коллоквиуму №2 по математическому анализу

для студентов 1 курса

по теме Производная и

дифференциал


1.

Производная. Бесконечная производная. Односторонние производные

2.

Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и
достаточное условие дифференцируемости. Непрерывность
дифференцируемой функции. Дифференциал

3.

Механический и г
еометрический смысл производной и
дифференциала. уравнения касательной и нормали к графику функции

4.

Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного
функций


31

5.

Дифференцирование сложной функцию Дифференцирование обратной
функции

6.

Производные
основных элементарных функций

7.

Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно
-
степенной функции

8.

Производная высших порядков. Механический смысл второй
производной. Формула Лейбница

9.

Инвариантность дифференциала. Дифференциалы высших пор
ядков

10.

Производная функции, заданной параметрически


Вопросы к коллоквиуму №3 по математическому анализу

для студентов 1 курса

по теме Неопределенный интеграл


1.

Задача восстановления функции по ее производной. Первообразная
функция и неопределенн
ый интеграл. Основные свойства неопределенного
интеграла

2.

Таблица основных интегралов

3.

Интегрирование заменой переменного в неопределенном интеграле

4.

Интегрирование по частям

5.

Интегрирование простейших рациональных дробей

6.

Разложение правильной р
ациональной дроби на сумму простейших

7.

Вычисление интегралов вида .

8.

Вычисление интегралов вида .

9.

Интегрирование дифференциальных биномов

10.

Интегрирование тригонометрических выражений


ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ ЗАЧЕТУ


1 СЕМЕСТР


1.Предмет ма
тематического анализа. Исторические сведения.

2.Действительные числа и их свойства.

3.Модуль действительного числа.

4.Расширенная числовая прямая. Промежутки. Окрестности.

5.Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числовых
мн
о
жеств.

6.Теорема

о существовании точной верхней нижней грани.

7.Аксиома Архимеда. Целая часть действительного числа.

8.Метод математической индукции. Бином Ньютона. Неравенство Бернулли.

9.Понятие функции отображения.

10.Основные свойства функций отображений.

11.Де
й
ствительная функция действительного переменного.

12.Классификация функций по некоторым характеристикам.


32

13.Обратная функция. Неявные функции. Параметрически заданные
фун
к
ции.

14.Предел числовой последовательности.

15.Основные свойства сходящихся последоват
ельностей.

16.Бесконечно
-
малые и бесконечно
-
большие последовательности.

17.Арифметические операции над сходящимися последовательност
я
ми.

18.Признак сходимости монотонной последовательности. Число е.

19.Теорема Кантора о вложенных отрезках.

20.Представление

действительного числа бесконечной десятичной дробью.

21.Подпоследовательность. Теорема Больцано
-
Вейерштрасса.

22.Критерий Коши сходимости последовательности.

23.Частичные пределы последовательности.

24.Предельная точка числового множества.

25.Определение
предела функции в точке.

26.Свойства функций, имеющих в точке конечный предел. Предел сложной
функции.

27.Односторонние пределы функции в точке.

28.Замечательные пределы.

29.Бесконечно
-
малые и бесконечно
-
большие функции. Сравнение функций.
Эквивалентные ве
личины.

30.Понятие непрерывности функции.

31.Точки разрыва функции.

32.Свойства функций, непрерывных в точке.

33.Пределы и непрерывность монотонных функций.

34.Критерий Коши существования предела функции.

35.Свойства функций, непрерывных на отрезке.

36.Пон
ятие равномерной непрерывности. Теорема Гейне
-
Кантора.

37.Непрерывность обратной функции.

38.Степенная функция с натуральным показателем.

39.Степенная функция с целым показателем.

40.Степенная функция с рациональным показателем.

41.Степенная функция с ирра
циональным показателем.

42.Показательная функция и ее свойства.

43.Логарифмическая функция и ее свойства.

44.Степенная функция с действительным показателем.


2 СЕМЕСТР


1.Производная. Бесконечная производная. Односторонние про
изво
д
ные

2.Понятие дифференцир
уемости функции в точке. Критерий
дифференцируемости. Непрерывность диффере
нцируемой функции.
Ди
ф
ференциал

3.Механический и геометрический смысл производной и диффере
н
циала.
Уравнения касатель
ной и нормали к графику функции


33

4.Дифференцирование суммы, разно
сти, произ
ведения и частного двух
функций

5.Дифференцирование сложной функции. Диф
ференцирование обра
т
ной
функции

6.Производны
е основных элементарных функций

7.Таблица производных

основных элементарных функций

8.Логарифмическое дифференцирование. Производн
ая

показательно
-
степенной функции

9.Производная высших порядков. Механический смысл второ
й прои
з
водной.
Формула Лейбница

10.Инвариантность формы дифференциала. Дифференциалы высших
поря
д
ков

11.Производная ф
ункции, заданной параметрически

12.Возрастание и у
бывание функции в точке. Локальный экстремум.
Необх
о
димо
е условие локального экстремума

13.Теоремы Ролля

и Лагранжа о средних значениях

14.Теоремы Лагранжа и Коши о средних

значениях

15.Раскрытие неопределенности вида

по правилу

Лопиталя

16.Раскрытие неопределенности вида

п
о правилу Лопиталя

17.Раскрытие неопределенностей вида


18.Формула
Тейлора

19.Условие постоянства функции на промежутке. Условие мон
ото
н
ности
функции на пр
омежутке

20.Достаточны
е условия локальных экстремумов

21.Нахождение наибольшего

и наименьшего значений функции

22.Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточное условие
выпу
к
лости и вогнутости графика. Точки перегиба графика функции.
Необходимые и до
с
таточные условия точки перегиба

23.Асимптоты графика функции

24.Общая схема исследования
функции и построение ее графика

25.Задача восстановления функции по ее производной. Первообразная
функция и неопределенный интеграл. Основные свойства неопред
е
ленного

инт
е
грала.

26.Таблица основных интегралов.

27.Интегрирование заменой переменно
й

в неопределенном интегр
а
ле.

28.Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

29.Интегрирование простейших рациональных дробей.

30.Разложение правильной рациональной дро
би на сумму простейших.
В
ы
числение интеграла
.


34

31.Интегрирование иррациональных функций.

32.Интегрирование биномиальных дифференциалов.

33.Интегрирование выражений вида
. Подстановки
Эйл
е
ра.

34.Интегрир
оване тригонометрических функций. Интегральный лог
а
рифм,
синус, косинус.

35.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

36.Определенный интеграл Римана. Ограниченность интегрируемой на
о
т
резке функции.

37.Нижняя и верхняя суммы Дарбу. Нижний и ве
рхний интегралы Дарбу.

38.Необходимые и достаточные условия интегрируемости функции на
отре
з
ке по Риману.

39.Классы интегрируемых на отрезке по Риману функций.

40.Формула Ньютона
-
Лейбница.

41.Интегрирование по частям и замена переменной в определенном
инте
гр
а
ле. Вычисление интеграла
.

42.Свойства определенного интеграла.

43.Интегральное определение натурального логарифма.

44.Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости
несобственных интегралов первого рода. Абсолютная

и условная сх
о
димость
несо
б
ственных интегралов.

45.Несобственные интегралы второго рода.

46.Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах.

47.Вычисление площади плоской фигуры, если кривая задана в
параметрич
е
ской форме; в полярной системе ко
ординат.

48.Вычисление объемов тел в декартовых координатах. Объем тела
вращ
е
ния. Принцип Кавальери.

49.Длина дуги.

50.Вычисление площади поверхности вращения.

51.Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой. Первая
те
о
рема Гульдина
-
Паппа.

52.На
хождение статических моментов и центра тяжести плоской ф
и
гуры.
Вторая теорема Гульдина
-
Паппа.

53.Механическая работа.


3 СЕМЕСТР


1.Понятие суммы числового ряда. Геометрический ряд.

2.Основные свойства числовых рядов.

3.Необходимое условие сходимости число
вого ряда. Гармонический ряд.
Критерий Коши сходимости числового ряда.


35

4.Необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда с
неотр
и
цательными членами. Признаки сравнения числовых рядов с
неотрицател
ь
ными членами.

5.Признаки Коши и Даламбера сходи
мости числового ряда с
неотрицател
ь
ными членами.

6.Интегральный признак сходимости. Частный признак сравнения.

7.Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

8.Абсолютная и условная сходимость.

9.Понятие функциональной последовательности и ряда. Область сх
о
д
имости.

10.Понятие равномерной сходимости функциональной последов
а
тельности и
функционального ряда.

11.Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости
функци
о
нальной последовательности и функционального ряда.

12.Достаточный признак равномерной и а
бсолютной сходимости
функци
о
нального ряда.

13.Предел равномерно
-
сходящейся последовательности и сумма ра
в
номерно
-
сходящегося ряда непрерывных функций.

14.Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных
п
о
следовательностей и рядов.

15.Понятие ст
епенного ряда. Теорема Абеля.

16.Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

17.Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда.

18.Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

19.Задача разложения функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
.

20.Условия разложимости функции в степенной ряд.

21.Разложение функций

в степенной ряд.

22.Разложение функций

в степенной ряд.

23.Приближенное вычисление значений функций и интегралов с п
о
мощью
степ
енных рядов.

24.Последовательности и ряды комплексных чисел.

25.Степенные ряды с комплексными членами.

26.Показательная, тригонометрические, гиперболические функции в
комплексной области и связь между ними. Формулы Эйлера. Показ
а
тельная
форма комплексного
числа.

27.Теорема об умножении абсолютно
-
сходящихся рядов.

28.Ортогональные системы функций.

29.Коэффициенты Фурье и ряд Фурье по ортогональной системе функций.
Тригонометрический ряд Фурье.

30.Тригонометрический ряд Фурье для функций, заданных на отрезке

только по синусам или только по косинусам.

31.Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье.

32.Экстремальные свойства коэффициентов Фурье. Полнота ортог
о
нальной
системы. Равенство Парсеваля.

33.Класс кусочно
-
гладких ф
ункций. Лемма Римана.


36

34.Интеграл Дирихле.

35.Теорема о сходимости тригонометрического ряда Фурье для к
у
сочно
-
гладкой функции.

36.Функции нескольких переменных. Область определения. Область
значений. Способы задания. Геометрическое изображение. Предел и
не
преры
в
ность функций нескольких переменных. Основные свойства.

37.Частные производные, их геометрический смысл. Полный дифф
е
ренциал.
Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие
дифф
е
ренцируемости.

38.Производные и дифференциал сложной функци
и.

39.Неявные функции и их дифференцирование. Касательная пло
с
кость и
нормаль к поверхности.

40.Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных
произво
д
ных. Признак полного дифференциала.

41.Применение полного дифференциала к приближенным вычислен
и
ям.
Инвариантность формы полного дифференциала. Свойства ди
ф
ференциала.

42.Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух
переменных.

43.Необходимый признак экстремума. Достаточное условие сущес
т
вования
экстремума. Правило нахождения точе
к экстремума функции.

44.Задачи о наибольших и наименьших значениях. Примеры.

45.Условный экстремум. Прямой метод отыскания точек условного
экстремума. Способ неопределенных множителей Лагранжа. Дост
а
точные
условия условного экстремума.

46.Скалярное поле.
Поверхности уровня. Производная по направл
е
нию.
Градиент функции и его свойства. Связь градиента с поверхн
о
стями и
линиями уровня.

4 СЕМЕСТР



1.Криволинейные интегралы первого рода.

2.Применения криволинейного интеграла первого рода.

3.Вычисление работы п
о спрямляемой кривой.

4.Криволинейные интегралы второго рода. Определение. Механич
е
ский
смысл. Примеры.

5.Формула замены переменной в интеграле Стилтьеса. Свойства
кривол
и
нейного интеграла второго рода.

6.Криволинейный интеграл второго рода по замкнутому к
онтуру.

7.Вычисление площадей.

8.Связь криволинейного интеграла по замкнутому контуру с площадью
о
б
ласти.

9.Об условиях независимости криволинейного интеграла от пути
интегрир
о
вания.

10.Полный дифференциал функции.

11.Квадрируемые фигуры. Определение. Крит
ерий квадрируемости фигуры.
Площадь спрямляемой кривой.


37

12.Аддитивность площади. Квадрируемость пересечения фигур.
Неизме
н
ность класса квадрируемых фигур по всевозможным наборам
квадрируемых фигур по круговым секторам; общий случай.

13.Преобразование коо
рдинат.

14.Существование первообразных.

15.Криволинейный интеграл по пространственной кривой.

16. Задачи, приводящие к двойному интегралу.

17.Определение и существование двойного интеграла.

18.Вычисление двойного интеграла. Формула Грина.

19.Вычисление объ
емов тел.

20.Замена переменных в двойном интеграле.

21.Площадь поверхности.

22.Применение двойных интегралов к механике.

23.Интегралы по поверхности.

24.Тройные интегралы, их вычисление и применение.

25.Правило замены переменных в тройном интеграле.

26.Инт
егралы с конечными пределами.

27.Непрерывность функции
, ее интегрирование и дифференц
и
рование.

28.Интегралы с переменными пределами интегрирования.

29.Интегралы с бесконечными пределами. Непрерывность функции
.
Двойные несобственные интегралы по безграничной области.

30.Интеграл Эйлера
-
Пуассона. Интегрирование и дифференцирование
инт
е
гралов с бесконечными пределами.

31.Бета
-
функция и ее свойства. Связь между функциями
B

и Г.

32.Гамма
-
функция и ее свойст
ва.

33.Скалярное поле. Оператор Набла и его свойства. Векторное поле и его
свойства.

34.Поток векторного поля через поверхность.

35.Формула Остроградского
-
Гаусса. Дивергенция.

36.Циркуляция и ротор векторного поля. Формула Стокса.



5

СЕМЕСТР


1.Понятие мн
ожества. Операции над множествами. Счетные множес
т
ва и их
свойства. Эквивалентность множеств.

2.Теорема о несчетности множества
. Мощность множества. Мо
щ
ность
множества всех подмножеств данного множества. Теорема Ка
н
тора
-
Бернштей
на.

3.Понятие метрического пространства. Примеры метрических пр
о
странств.

4.Открытые и замкнутые множества и их свойства.

5.Канторово множество.

6.Сходимость в метрическом пространстве.

7.Полные метрические пространства.


38

8.Принцип сжимающих отображений.

9.
Топологические пространства и их свойства.

10.Компактные множества в метрических пространствах.

11.Линейные пространства. Линейные функционалы.

12.Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана
-
Банаха.

13.Нормированные пространства.

14.Евклидовы п
ространства.

15.Полные евклидовы пространства. Теорема Рисса
-
Фишера. Гил
ь
бертово
пространство.

16.Топологические линейные пространства.

17.Непрерывные линейные функционалы.

18.Сопряженное пространство и его свойства.

19.Обобщенные функции и их свойства.

20
.Преобразование Фурье обобщенных функций.

21.Линейные операторы и их свойства.

22.Мера плоских множеств.

23.Общее понятие меры.

24.Лебеговское продолжение меры.

25.Измеримые функции.

26.Свойства измеримых функций.

27.Интеграл Лебега для простых функций. Ин
теграл Лебега на мн
о
жестве
конечной меры и его свойства.

28.Предельный переход под знаком интеграла Лебега. Интеграл Леб
е
га по
множеству бесконечной меры.

29.Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.

30.Интеграл Лебега
-
Стилтьеса.

31.Функции ограничен
ной вариации. Интеграл Римана
-
Стилтьеса.

32.Свойства интеграла Стилтьеса. Связь интегралов Римана и Стилт
ь
еса.


6

СЕМЕСТР



1.Определение комплексных чисел. Операции над ними.

2.Геометрическое изображение комплексных чисел. Понятие модуля и
арг
у
мента компл
ексного числа.

3.Интерпретация Римана комплексных чисел. Понятие расширенной
ко
м
плексной плоскости.

4.Функции комплексно
й

переменно
й
. Предел функции.

5.Непрерывность функции комплексно
й

переменно
й
.

6.Функциональные ряды. Моногенность.

7.Условия Коши
-
Римана
.

8.Определение аналитической функции.

9.Гармонические функции.

10.Дифференцирование степенных рядов.

11.Теоремы об обратных функциях.


39

12.Конформные отображения. Геометрический смысл модуля и арг
у
мента
производной.

13.Линейные и дробно
-
линейные функции.

14
.Теорема об образе окружности при дробно
-
линейном отображении.
Н
е
подвижные точки дробно
-
линейного отображения.

15.Степенная функция и радикал. Понятие римановой поверхности.

16.Функция Жуковского.

17.Показательная и логарифмическая функция. Степень с произ
вольным
п
о
казателем.

18.Круговые и обратные круговые функции.

19.Интеграл от функции комплексного переменного по кусочно
-
гладкому
пути.

20.Теорема Коши.

21.Первообразная и интеграл.

22.Интегральное определение логарифма.

23.Интегральная формула Коши. Теоре
ма о среднем.

24.Формула Коши для производных аналитической функции. Нер
а
венства
Коши.

25.Теоремы Лиувилля и Мареры. Интеграл типа Коши.

26.Ряд Тейлора.

27.Нули аналитической функции. Изолированность нулей. Свойство
единс
т
венности.

28.Ряд Лорана.

29.Класси
фикация изолированных особых точек.

30.Разложение аналитической функции в ряд Лорана в окрестности
бесконечно
-
удаленной точки. Простейшие классы аналитических функций.

31.Вычет аналитической функции. Теорема о вычетах.

32.Вычисление вычета функции относите
льно полюса.

33.Логарифмический вычет. Теорема о логарифмическом вычете.

34.Применение вычетов к вычислению интегралов.



Критерии оценки на письменном экзамене

в соответствии с бально
-
рейтинговой системой:

Усвоение студентом дисциплины максимально оцен
ивается в 100
рейтинговых баллов, которые распределяются по разделам дисциплины в
зависимости от их значимости и трудоемкости.

Максимальная сумма баллов 100, которую студент может набрать за
семестр по дисциплине, состоит из сумы баллов полученных в ходе

текущего
контроля 60 и промежуточной аттестации 40.

Письменный экзамен включает два теоретических вопроса и две задачи,
которые оцениваются по 10 баллов. Всего
-

40 баллов.

10 баллов при полном, грамотном раскрытии вопроса,
сопровождающегося пояснен
иями, доказательствами теорем, лемм и т.д.;

7 баллов за ответы содержащие несущественные неточности;

2 балла если дан ряд определений и формул;


40

0 баллов
-

знаний нет по вопросу.


10 баллов за правильно выполненное практическое задание;



5 баллов при ре
шении задачи допущены ошибки, ответ неверный;

0 баллов
-

задача не решена.


Шкала оценки ус
певаемости студентов в семестре

на основе набранных баллов

85
-
100 баллов
-

отлично;

65
-
84 баллов
-

хорошо;

51
-
64 баллов
-

удовлетворительно;

0
-
50
баллов
-

неудовлетворительно;




41

Комплект заданий

для индивидуальной самостоятельной работы


1. Доказать, исходя из определения, что

указать
N
(

))

1.1.

1.
11
.

1.
2
1.

1.
2
.

1.
12
.

1.
22
.

1.
3
.

1.
13
.

1.
23
.

1.
4
.

1.
14
.

1.
24
.

1.
5
.

1.
15
.

1.
25
.

1.
6
.

1.
16
.

1.
26
.

1.
7
.

1.
17
.

1.
27
.

1.
8
.

1.
1
8
.

1.
28
.

1.
9
.

1.
19
.

1.
29
.

1.
10
.

1.
20
.

1.
30
.



2.
Вычислить предел числовой последоват
ельности

2.1.

2.11.

2.21.

2.2.


2.12.

2.22.


42

2.3.

2.13

2.23.

2.4.

2.14.


2.24.

2.5.

2.15.


2.25.

2.6.

2.16.

2.26.

2.7.

2.17.

2.27.

2.8.

2.18.

2.28.

2.9.

2.19.

2.29.

2.10.


2.20.


2.30.



3
. Вычислить предел

3.1.

3.11

3.21.

3.2.

3.12.

3.22.

3.3.

3.13.

3.23.

3.4.

3.14.

3.24.

3.5.

3.15.

3.25.

3.6.

3.16.

3.26.

43


3.7.

3.17.

3.27.

3.8.

3.18.

3.28.

3.9.

3.19.

3.29.

3.10.

3.20.

3.30.



4. Вычислить предел

4.1.

4.9.

4.17.

4.243.

4.2.

4.10.

4.18.

4.25.

4.3.

4.11.

4.19.

4.26.

4.4.

4.12.

4.20.

4.27.

4.5.

4.13.

4.21.

4.28.

4.6.

4.14.

4.22.

4.29.

4.7.

4.15.

4.23.

4.30.

4.8.

4.16.





5. Вычислить предел

5.1.

5.11.

5
.21.

5.2.

5.12.

5.22.


44

5.3.

5.13.

5.23.

5.4.

5.14.

5.24.

5.5.

5.15.

5.25.

5.6.

5.16.

5.26.

5.7.

5.17.

5.27.

5.8.

5.18.

5.28.

5.9.

5.19.

5.29.

5.10.

5.20.

5.30.



6
. Вычисл
ить предел

6
.1.

6.11.

6.21.

6.2.

6.12.

6.22.

6.3.

6.13.

6.23.

6.
4.

6.14.

6.24.

6.5.

6.15.

6.25.

6.6.

6.16.

6.26.

6.7.

6.17.

6.27.

6.8.

6.18.

6.28.

6.9.

6.19.

6.29.

6.10.

6
.20.

6.30.


45

7. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график

7.1.

7.11.

7.21.

7.2.

7.12.

7.22.

7.3.

7.13.

7.23.

7.4.

7.14.

7.24.

7.5.

7.15.

7.25.

7.6.

7.16.

7.26.

7.7.

7.17.

7.27.

7.8.

7.18.

7.28.

7.9.


7.19.

7.29.


46

7.10.

7.20.

7.30.



8. Вычислить производную функции

8.1.

8.11.

8.21.

8.2.

8.12.

8.22.

8.3.

8.13.

8.23.

8.4.

8.14.

8.
24.

8.5.

8.15.

8.25.

8.6.

8.16.

8.26.

8.7.

8.17.

8.27.

8.8.

8.18.

8.
28.

8.9.

8.19.

8.29.

8.10.

8.20.

8.
30.



9. Вычислить дифф
еренциал функции

9.1.

9.11.

9.21.

9.2.

9.12.

9.22.

9.3.

9.13.

9.23.

9.4.

9.14.

9.24.

9.5.

9.15.

9.25.

9.6.

9.16.

9.26.

9.7.

9.17.

9.27.

9.8.

9.18.

9.28.

9.9.

9.19.
9.29.

47



9.10.

9.20.

9.30.



10. Вычислить производную функции

10.1.

10.9.

10.17.

10.24.

10.2.

10.10.

10.18.

10.25.

10.3.

10.11.

10.19.

10.26.

10.4.

10.12.

10.20.

10.27.

10.5.

10.13.

10.21.

10.28.

10.6.

10.14.

10.22.

10.29.

1
0.7.

10.15.

10.23.

10.30.

10.8.

10.16.





11. Вычислить производную функции

11.1
.

11.9.

11.17.

11.24.

11
.
2
.

11.10.

11
.
18
.

11.25.

11.3.

11.11.

11.19.

1
1.26.

11.4.

11.12.

11.20.

11.27
.

11.5.
11
.
13
.
11
.
21
.
11.28.

48





11.6
.

11.14.

11.22.

11.29.

11.7.

11.15.

11.23.

11.30.

11.8.

11.16.





12. Вычислить производную первого и второго порядка функции, заданной
параметрически

12.1.

12.9.

12.17.

12.25.

12.2.

12.10.

12.18.

12.26.

12.3.

12.11.

12.19.

12.27.

12.4.

12.12.

12.20.

12.28.

12.5.

12.13.

12.21.

12.29.

12.6.

12.14.

12.22.

12.30.

12.7.

12.15.

12.23.


12.8.

12.16.

12.24.




13. Решить следующие задачи

13.1. Записать уравнения касательной и норма
ли к кривой
y

=

x
2



7
x

+

3 в точке с
абсциссой
x

=

1.

13.2. Записать уравнения касательной и нормали к кривой
y

=

x
2



16
x

+

7 в точке с
абсциссой
x

=

1.


49

13.3. Записать уравнения касательной и нормали к кривой

в точке с абсци
ссой
x

=

8.

13.4. Записать уравнения касательной и нормали к кривой

в точке с абсциссой
x

=


3.

13.5. Записать уравнения касательной и нормали к кривой
y

=

x
3



2
x
2

+

4
x



7 в точке
(2;1).

13.6. Записать уравнения касательной и

нормали к кривой
y

=

x
3



5
x
2

+

7
x



2 в точке
(1;1).

13.7. Записать уравнения касательной и нормали к кривой
y

=

x
2



6
x

+

2 в точке с
абсциссой
x

=

2.

13.8. Записать уравнения касательной и нормали к кривой
y

=

x
2
/

4



x

+

5 в точке с
абсцис
сой
x

=

4.

13.9. Записать уравнения касательной и нормали к кривой
y

=

x
4
/

4



27
x

+

60 в точке с
абсциссой
x

=

2.

13.10. Записать уравнения касательной и нормали к кривой
y

=


x
2
/

2

+

7
x



15/2 в точке
с абсциссой
x

=

3.

13.11. Записать уравнения

касательной и нормали к кривой
y

=

3
tg

2
x

+

1 в точке с
абсциссой
x

=


/2.

13.12. Записать уравнения касательной и нормали к кривой
y

=

4
tg

3
x

+

8 в точке с
абсциссой
x

=


/9.

13.13. Записать уравнения касательной и нормали к кривой
y

=

6
tg

5
x



1 в точке с
абсциссой
x

=


/20.

13.14. Записать уравнения касательной и нормали к кривой
y

=

4
tg

6
x



10 в точке с
абсциссой
x

=


/18.

13.15. Выяснить, в каких точках кривой
y

=

sin

2
x

касательная составляет с осью
Ох

угол

/4.

13.16. Выяснить,

в каких точках кривой
y

=

cos

3
x

касательная составляет с осью
Ох

угол

/6.

13.17. Выяснить, в каких точках кривой
y

=

2
x
3



1 касательная составляет с осью
Ох

угол

/3.

13.18. Выяснить, в каких точках кривой
y

=

x
3
/ 3


x
2
/ 2



7
x

+

9 касательная

составляет с
осью
Ох

угол 


/4).

13.19. Выяснить, в каких точках кривой
y

=

x
3
/ 3


5
x
2
/ 2

+

7
x

+

4 касательная составляет с
осью
Ох

угол

/
4
.

13.20. Найдите точку на кривой
y

=

x
3
/

3


9
x
2
/

2

+

20
x



7, касательная в которой
параллельна прямой
y

=

0.

13.21. Найдите точку на кривой
y

=

x
4
/

4


7, касательная в которой параллельна прямой
y

=

8
x



4.

13.22. Найдите точку на кривой
y

=


3
x
2

+

4
x

+

7, касательная в которой перпендикулярна
прямой
x



20
y

+

5

=

0.

13.23. Найдите точку на кривой
y

=

3
x
2



4
x

+

6, касательная в которой параллельна
прямой 8
x



+

5

=

0.

13.24. Найдите точку на кривой
y

=

5
x
2



4
x

+

1, касательная в которой перпендикулярна
прямой
x

+

6
y

+

15

=

0.

13.25. Найдите точку на кривой
y

=

3
x
2



5
x



1
1, касательная в которой параллельна
прямой
x



y

+

10

=

0.

13.26. Найдите точку на кривой
y

=


x
2

+

7
x

+

16, касательная в которой параллельна
прямой 3
x



y

+

4

=

0.

13.27. Найдите точку на кривой
y

=

4
x
2



10
x

+

13, касате
льная в которой параллельна
прямой 6
x



y



7

=

0.

13.28. Найдите точку на кривой
y

=

7
x
2



5
x

+

4, касательная в которой перпендикулярна

50

прямой
x

+

23
y



1

=

0.

13.29. Найдите точку на кривой
y

=

x
2
/4



7
x

+

5, касательная в котор
ой параллельна
прямой 2
x



y

+

5

=

0.

13.30. Найдите точку на кривой
y

=

6
x
2

+

12
x

+

16, касательная в которой
перпендикулярна прямой 4
x

+

8
y



13

=

0.



14
. Вычислить предел, используя правило Лопиталя

14.1.

14.9.

14.17
.

14.25.

14.2.

14.10.

14.18.

14.26.

14.3.

14.11.

14.19.

14.27.

14.4.

14.12.

14.20.

14.28.

14.5.

14.13.

14.21.

14.29.

14.6.

14.14.

14.22.

14.30.

14.7.

14.15.

14.23.


14.8.

14.16.

14.24.




15. С помощью дифференциала приближённо вычислите данные величины и оцените
допущенную погрешность с точностью до двух знаков после запятой, сравнив со
значением, вычисленным на калькуляторе

15.1.

15.7.

15.13.

15.19.

15.25.

15.2.

15.8.

15.14.

15.20.

15.26.

1
5.3.

15.9.

15.15.

15.21.

15.27.

15.4.

15.10.

15.16.

15.22.

15.28.

15.5.

15.11.
15.17.

15.23.

15.29.


51


15.6.

15.12.

15.18.

15.24.

15.30.



16. Проведите полное исследование функции и постройте её график

16.1.

16.9.

16.17.

16.25.

16.2.

16.10.


16.18.

16.26.

16.3.

16.11.

16.19.

16.27.

16.4.

16.12.

16.20.

16.28.

16.5.

16.13.

16.21.

16.29.

16.6.

16.14.

16.22.

16.30.

16.7.

16.15.

16.23.


16.8.

16.16.

16.24.




17. Проведите полное исследование функции и постройте её график

17.1.


17.9.

17.17.

17.25.

17.2.

17.10.

17.18.

17.26.

17.3.

17.11.

17.19.

17.27.

17.4.

17.12.

17.20.

17.28.

17.5.

17.13.

17.21.

17.29.

17.6.

17.14.

17.22.

17.30.

17.7.

17.15.

17.23.


17.8.

17.16.
17.24.



52


КОМПЛЕКТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ



ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ № 1


Вариант № 1.

1.Найти область определения функции:

а
; б
.

2.Доказать, что
.

3.Вычислить пределы: а
; б
.

4
.Найти точки разрыва функции и указать их характер:


5.Привести пример последовательности, не имеющей предела, но
содержащей сходящуюся подпоследовательность.


Вариант № 2.

1. Найти область определения функции:

а
; б
.

2.Доказать, что
.

3.Вычис
лить пределы: а
; б
.

4. Найти точки разрыва функции и указать их характер:


5.Привести пример последовательности, стремящейся к
, но не к

и не к
. Существует ли последовательность, стремящаяся к
, но не
стремящаяся к
?


Вариант № 3.

1.Найти обл
асть определения функции:

а
; б
.


53

2.Доказать, что
.

3.Вычислить пределы: а
; б
.

4.Найти точки разрыва функции и указать их характер:


5.Привести пример неограниченной последовательности, не имеющей
бесконечного предела.


Вариант № 4.

1.На
йти область определения функции:

а
; б
.

2.Доказать, что
.

3.Вычислить пределы: а
; б
.

4.Найти точки разрыва и указать их характер:


5.Известно, что
. Можно ли утверждать, что

?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ


ВВЕДЕНИЕ В

АНАЛИЗ № 2


Вариант № 1.

1.Найдите область определения функции:
.

2.По определению предела числовой последовательности докажите, что


.

3.Вычислите пределы:

а
; б
.

4.Исследуйте функцию


54


на непрерывность. Найдит
е ее точки разрыва. Определите их род. Постройте
график.


Вариант № 2.

1. Найдите область определения функции:
.

2. По определению предела числовой последовательности докажите, что


.

3.Вычислите пределы:

а
; б
.

4.Исследуйте функцию


на непрерывность. Найдите ее точки разрыва. Определите их род. Постройте
график.


Вариант № 3.

1.Найдите область определения функции:

.

2. По определению предела числовой последовательности докажите, что



.

3.Вычислите пределы:

а
; б
.

4.Исследуйте функцию


55


на непрерывность. Найдите ее точки разрыва. Определите их род. Постройте
график.


Вариант № 4.

1.Найдите область определения функции:

.

2. По определению предела числовой последователь
ности докажите, что


.

3.Вычислите пределы:

а
; б
.

4.Исследуйте функцию


на непрерывность. Найдите ее точки разрыва. Определите их род. Постройте
график.



ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ № 3


Вариант № 1.

1.Найти область оп
ределения функции:

а
; б
.

2.По определению предела числовой последовательности докажите, что:

.

3.Вычислить пределы:

а
; б
.


56

4.Найти точки разрыва функции и указать их характер. Построить график
функции:


Вариант № 2.

1.Найти область опред
еления функции:

а
; б
.

2.По определению предела числовой последовательности докажите, что:

.

3.Вычислить пределы:

а
; б
.

4.Найти точки разрыва функции и указать их характер. Построить график
функции:


РЯДЫ


Вариант № 1.

1.Пользуясь призн
аком Даламбера или Коши, исследовать сходимость рядов:

а
; б
.

2.Пользуясь интегральным признаком, исследовать сходимость ряда:

.

3.Пользуясь признаком Лейбница, исследовать сходимость ряда и установить
характер сходимости абсолютная, условная:

.

4.Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд в
указанном промежутке:
.


57

5.Найти область сходимости степенного ряда:
.

6.Разложить в ряд по степеням
функцию

и вычислить

с
точностью до 0,00001.


Вариант № 2.

1.Пользуясь признаком Даламб
ера или Коши, исследовать сходимость рядов:

а
; б
.

2. Пользуясь интегральным признаком, исследовать сходимость ряда:

.

3. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать сходимость ряда и
установить характер сходимости абсолютная, условная:
.

4. Иссле
довать на равномерную сходимость функциональный ряд в
указанном промежутке:
.

5. Найти область сходимости степенного ряда:
.

6. Разложить в ряд по степеням
функцию

и вычислить

с
точностью до 0,001 считать известным
).

Вариант № 3.

1.Пользуясь приз
наком Даламбера или Коши, исследовать сходимость рядов:

а
; б
.

2.Пользуясь интегральным признаком, исследовать сходимость ряда:

.

3.Пользуясь признаком Лейбница, исследовать сходимость ряда и установить
характер сходимости абсолютная, условная:

.

4.Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд в
указанном промежутке:
.


58

5.Найти область сходимости степенного ряда:
.

6.Разложить в ряд по степеням
функцию

и вычислить

с точностью до 0,0001.


Вариант № 4.

1.Пользуясь признаком Даламб
ера или Коши, исследовать сходимость рядов:

а
; б
.

2. Пользуясь интегральным признаком, исследовать сходимость ряда:

.

3. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать сходимость ряда и
установить характер сходимости абсолютная, условная:
.

4. Иссле
довать на равномерную сходимость функциональный ряд в
указанном промежутке:
.

5. Найти область сходимости степенного ряда:
.

6. Разложить в ряд по степеням
функцию

и вычислить

с
точностью до 0,0001.


РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ


Вариант № 1.

1.Найти сумму ряда
:
.

2.Исследовать сходимость рядов:

а
; б
; в
; г
.

3.Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
.

4.Найти область сходимости ряда:
.

5.Разложить в ряд по степеням

функцию
.


59

6.
. Продолжить

на сегмент

четным образом.


Вариант №
2.

1.Найти сумму ряда:
.

2.Исследовать сходимость рядов:

а
; б
; в
; г
.

3.Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
.

4.Найти область сходимости ряда:
.

5.Разложить в ряд по степеням

функцию
.

6.
. Продолжить

на сегмент

нечетн
ым образом.


Вариант № 3.

1.Найти сумму ряда:
.

2.Исследовать сходимость рядов:

а
; б
; в
; г
.

3.Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
.

4.Найти область сходимости ряда:
.

5.Разложить в ряд по степеням

функцию
.

6.
. Разложить

в ряд по синусам.

Вариант № 4.

1.Найти сумму ряда:
.

2.Исследовать сходимость рядов:

а
; б
; в
; г
.


60

3.Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
.

4.Найти область сходимости ряда:
.

5.Разложить в ряд по степеням

функцию
.

6.
. Раз
ложить в ряд по синусам.




Пример экзаменационного билета




ФГБОУ ВО ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физико
-
математический факультет

Кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений

Направление подготовки: 44.03.05 Педагогическое обра
зование

Направленность профиль Математика и физика

Дисциплина


Математический анализ


БИЛЕТ № 1


1.

Предмет математического анализа. Исторические сведения.

2.

Частичные пределы последовательности.

3.

Задача.



Зав. кафедрой

/Зарубин А.Н./


  _______________ 20 ____ г.


Приложенные файлы

  • pdf 87519715
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий