19.3. Докажите, что векторное пространство с топологией, порожденной семейством полунорм, является топологическим векторным пространством.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
26.04.2012
Ôóíêöèîíàëüíûéàíàëèç
Ëèñòîê19
19.1.
Ïóñòü
X;Y
òîïîëîãè÷åñêèåâåêòîðíûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òî
1)
ëèíåéíûéîïåðàòîð
T
:
X
!
Y
íåïðåðûâåí
()
îííåïðåðûâåíâíóëå;
2)
ìíîæåñòâî
L
(
X;Y
)
íåïðåðûâíûõëèíåéíûõîïåðàòîðîâèç
X
â
Y
âåêòîðíîåïîäïðî-
ñòðàíñòâîâ
Hom
K
(
X;Y
)
.
19.2.
Ïóñòü
(
X;P
)
ïîëèíîðìèðîâàííîåïðîñòðàíñòâî.Äîêàæèòå,÷òîäëÿêàæäîãî
x
2
X
âñå
ìíîæåñòâàâèäà
U
p
1
;:::;p
n
;"
(
x
)=
f
y
2
X
:
p
i
(
y

x
)
"
8
i
=1
;:::;n
g
(ãäå
p
1
;:::;p
n
2
P
è
"−
0
)
îáðàçóþòáàçóâ
x
.
19.3.
Äîêàæèòå,÷òîâåêòîðíîåïðîñòðàíñòâîñòîïîëîãèåé,ïîðîæäåííîéñåìåéñòâîìïîëóíîðì,
ÿâëÿåòñÿòîïîëîãè÷åñêèìâåêòîðíûìïðîñòðàíñòâîì.
19.4.
Äîêàæèòå,÷òîíàïðàâëåííîñòü
(
x

)
âïîëèíîðìèðîâàííîìïðîñòðàíñòâå
(
X;P
)
ñõîäèòñÿ
ê
x
2
X
òîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà
p
(
x

x

)
!
0
äëÿâñåõ
p
2
P
.
19.5.
Äîêàæèòå,÷òîòîïîëîãèÿíàâåêòîðíîìïðîñòðàíñòâå
X
,ïîðîæäåííàÿñåìåéñòâîìïî-
ëóíîðì
P
,õàóñäîðôîâàòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàäëÿêàæäîãî
0
6
=
x
2
X
íàéäåòñÿòàêàÿ
ïîëóíîðìà
p
2
P
,÷òî
p
(
x
)

0
.
19.6.
Äëÿïîëóíîðìû
p
íàâåêòîðíîìïðîñòðàíñòâå
X
ïîëîæèì
U
p
=
f
x
2
X
:
p
(
x
)

1
g
.
Äîêàæèòå,÷òî
1)
U
p
\
U
q
=
U
max
f
p;q
g
;
2)
U
p

U
q
()
q
6
p
;
3)
U
p

U
q
()
q

p
.
(Çäåñüîòíîøåíèå

äëÿïîëóíîðìîçíà÷àåò¾ìàæîðèðóåòñÿ¿,àäëÿìíîæåñòâ¾ïîãëîùàåòñÿ¿;
ñì.ëåêöèþ.)
19.7.
Äîêàæèòå,÷òîñåìåéñòâîïîëóíîðì
P
íàâåêòîðíîìïðîñòðàíñòâå
X
ÿâëÿåòñÿíàïðàâëåí-
íûì(îòíîñèòåëüíîïîðÿäêà

)òîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàäëÿêàæäîãî
x
2
X
(èëè,ýêâèâà-
ëåíòíî,äëÿ
x
=0
)ìíîæåñòâàâèäà
U
p;"
(
x
)
(ãäå
p
2
P;"−
0
)îáðàçóþòáàçóâ
x
.
19.8.
Äîêàæèòå,÷òî
1)
âûïóêëàÿîáîëî÷êàè
2)
çàêðóãëåííàÿîáîëî÷êàîòêðûòîãî
ïîäìíîæåñòâàâòîïîëîãè÷åñêîìâåêòîðíîìïðîñòðàíñòâåîòêðûòû.
19.9.
Äîêàæèòå,÷òîõàóñäîðôîâàëîêàëüíîòîïîëîãèÿíàâåêòîðíîìïðîñòðàíñòâå,ïîðîæäåí-
íàÿñåìåéñòâîìïîëóíîðì
P
,íîðìèðóåìàòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà
P
ýêâèâàëåíòíîíåêîòîðî-
ìóñâîåìóêîíå÷íîìóïîäñåìåéñòâó.(Åñëèñåìåéñòâî
P
íàïðàâëåííîå,òîïîñëåäíååðàâíîñèëüíî
òîìó,÷òî
P
f
p
0
g
äëÿíåêîòîðîãî
p
0
2
P
).
19.10.
Íàêàêèõèçñëåäóþùèõòîïîëîãè÷åñêèõâåêòîðíûõïðîñòðàíñòâñóùåñòâóåòõîòÿáû
îäíàíåïðåðûâíàÿíîðìà?
1)
K
S
(ãäå
S
ìíîæåñòâî);
2)
C
(
X
)
(ãäå
X
òèõîíîâñêîå
1
òîïîëîãè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî);
3)
ïðîñòðàíñòâîãîëîìîðôíûõôóíêöèé
O
(
U
)
íàîòêðûòîììíîæåñòâå
U

C
;
4)
C
1
[
a;b
]
;
5)
C
1
(
U
)
,ãäå
U

R
n
îòêðûòîåìíîæåñòâî;
6)
íîðìèðîâàííîåïðîñòðàíñòâî,ñíàáæåííîåñëàáîéòîïîëîãèåé;
7)
ñîïðÿæåííîåêíîðìèðîâàííîìóïðîñòðàíñòâó,ñíàáæåííîåñëàáîé

òîïîëîãèåé;
8)
B
(
X;Y
)
ññèëüíîéîïåðàòîðíîéòîïîëîãèåé(ãäå
X
è
Y
íîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà);
9)
B
(
X;Y
)
ñîñëàáîéîïåðàòîðíîéòîïîëîãèåé(ãäå
X
è
Y
íîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà).
19.11.
Êàêèåïðîñòðàíñòâàèçïðåäûäóùåéçàäà÷èíîðìèðóåìû?
1
Õàóñäîðôîâîòîïîëîãè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî
X
íàçûâàåòñÿ
òèõîíîâñêèì
,åñëèäëÿêàæäîãîçàìêíóòîãîìíî-
æåñòâà
F

X
èêàæäîãî
x
2
X
n
F
íàéäåòñÿòàêàÿíåïðåðûâíàÿôóíêöèÿ
f
:
X
!
[0
;
1]
,÷òî
f
j
F
=0
è
f
(
x
)=1
.
Òèõîíîâñêèìèÿâëÿþòñÿâñåìåòðèçóåìûåïðîñòðàíñòâà(äîêàæèòå!),âñåõàóñäîðôîâûêîìïàêòûè,áîëååîáùèì
îáðàçîì,âñå
íîðìàëüíûå
ïðîñòðàíñòâà(ñì.ëþáîéó÷åáíèêïîîáùåéòîïîëîãèè).
26.04.2012
Ôóíêöèîíàëüíûéàíàëèç
Ëèñòîê19
19.12.
1)
Äîêàæèòå,÷òîíàêîíå÷íîìåðíîìâåêòîðíîìïðîñòðàíñòâåëþáûåäâàñåìåéñòâà
ïîëóíîðì,êàæäîåèçêîòîðûõçàäàåòõàóñäîðôîâóòîïîëîãèþ,ýêâèâàëåíòíû.
2-b)
Äîêàæèòå,÷òîíàêîíå÷íîìåðíîìâåêòîðíîìïðîñòðàíñòâååñòüòîëüêîîäíàòîïîëîãèÿ,
ïðåâðàùàþùàÿåãîâõàóñäîðôîâîòîïîëîãè÷åñêîåâåêòîðíîåïðîñòðàíñòâî.
19.13.
Ïóñòü
S
ìíîæåñòâî.
1)
Äîêàæèòå,÷òîäëÿëþáîéôóíêöèè
f
2
K
S
îïåðàòîðóìíîæåíèÿ
M
f
:
K
S
!
K
S
;M
f
(
g
)=
fg
,
íåïðåðûâåí.
2)
Îïèøèòåâñåíåïðåðûâíûåëèíåéíûåôóíêöèîíàëûíàïðîñòðàíñòâå
K
S
.
19.14.
1)
Ïóñòü
U

R
n
îòêðûòîåìíîæåñòâî.Äîêàæèòå,÷òîëþáîéëèíåéíûéäèôôåðåí-
öèàëüíûéîïåðàòîð
P
j

j
6
N
a

D

âïðîñòðàíñòâå
C
1
(
U
)
(ãäå
a

2
C
1
(
U
)
)íåïðåðûâåí.
2)
Äîêàæèòåàíàëîãè÷íîåóòâåðæäåíèåäëÿïðîñòðàíñòâà
O
(
U
)
,ãäå
U

C
(ñì.ï.3çàäà-
֏
19.10
).
19.15.
Ïóñòü
O
(
D
R
)
ïðîñòðàíñòâîãîëîìîðôíûõôóíêöèéâêðóãå
D
R
=
f
z
2
C
:
j
z
j
R
g
.
Äëÿ
f
2
O
(
D
R
)
ïîëîæèì
c
n
(
f
)=
f
(
n
)
(0)
=n
!
.Äîêàæèòå,÷òîêîìïàêòíî-îòêðûòàÿòîïîëîãèÿíà
O
(
D
R
)
ïîðîæäàåòñÿëþáûìèçñëåäóþùèõýêâèâàëåíòíûõñåìåéñòâïîëóíîðì:
1)
k
f
k
r
=
P
1
n
=0
j
c
n
(
f
)
j
r
n
(
0
rR
);
2)
k
f
k
r;p
=

P
1
n
=0
(
j
c
n
(
f
)
j
r
n
)
p

1
=p
(
0
rR
,
p
2
[1
;
+
1
)
ôèêñèðîâàíî);
3)
k
f
k
r;
1
=sup
n

0
j
c
n
(
f
)
j
r
n
(
0
rR
);
4)
k
f
k
I
r
=
R
j
z
j
=
r
j
f
(
z
)
j
d
(
z
)
(
0
rR
);
5)
k
f
k
I
r;p
=

R
j
z
j
=
r
j
f
(
z
)
j
p
d
(
z
)

1
=p
(
0
rR
,
p
2
[1
;
+
1
)
ôèêñèðîâàíî).
Âïï.4è5

ìåðàËåáåãàíàîêðóæíîñòè
j
z
j
=
r
.
19.16.
Ïóñòü
U

C
îòêðûòîåìíîæåñòâî.Äîêàæèòå,÷òîêîìïàêòíî-îòêðûòàÿòîïîëîãèÿíà
O
(
U
)
ñîâïàäàåòñòîïîëîãèåé,óíàñëåäîâàííîéèç
C
1
(
U
)
.
19.17.
Ïóñòü
U

R
n
îòêðûòîåìíîæåñòâîè
C
1
c
(
U
)
ïðîñòðàíñòâîãëàäêèõôóíêöèéñ
êîìïàêòíûìíîñèòåëåìâ
U
,ñíàáæåííîåñòàíäàðòíîéèíäóêòèâíîéòîïîëîãèåé(ñì.ëåêöèþ).
Äîêàæèòå,÷òîïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(
f
n
)
ñõîäèòñÿêôóíêöèè
f
â
C
1
c
(
U
)
òîãäàèòîëüêîòîãäà,
êîãäàñóùåñòâóåòòàêîéêîìïàêò
K

U
,÷òî
supp
f
n

K
äëÿâñåõ
n

f
n
!
f
ðàâíîìåðíîíà
K
ñîâñåìè÷àñòíûìèïðîèçâîäíûìè.
19.18.
Ïðîñòðàíñòâî
áûñòðîóáûâàþùèõïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
s
(
Z
)
îïðåäåëÿåòñÿòàê:
s
(
Z
)=
n
x
=(
x
n
)
2
K
Z
:
k
x
k
k
=
X
n
2
Z
j
x
n
jj
n
j
k

18
k
2
Z

0
o
:
Òîïîëîãèÿíà
s
(
Z
)
ïîðîæäàåòñÿïîñëåäîâàòåëüíîñòüþïîëóíîðì
fkk
k
:
k
2
Z

0
g
.Ïîñòðîéòå
òîïîëîãè÷åñêèéèçîìîðôèçì
C
1
(
T
)

=
s
(
Z
)
.
19.19-b.
Äîêàæèòå,÷òîõàóñäîðôîâàëîêàëüíîòîïîëîãèÿíàâåêòîðíîìïðîñòðàíñòâå,ïîðîæ-
äåííàÿñåìåéñòâîìïîëóíîðì
P
,ìåòðèçóåìàòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà
P
ýêâèâàëåíòíîíåêî-
òîðîìóñâîåìóíåáîëåå÷åìñ÷åòíîìóïîäñåìåéñòâó.
Óêàçàíèå.
Åñëè
(
p
n
)
n
2
N
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüïîëóíîðì,òîôóíêöèÿ

(
x;y
)=
X
n
1
2
n
p
n
(
x

y
)
1+
p
n
(
x

y
)
óäîâëåòâîðÿåòíåðàâåíñòâóòðåóãîëüíèêà.
19.20-b.
Êàêèåïðîñòðàíñòâàèççàäà÷
19.10
è
19.17
ìåòðèçóåìû?

Приложенные файлы

  • pdf 87598152
    Размер файла: 74 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий