Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.


Билет № 11
Определение серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство серединного перпендикуляра
Серединный перпендикуляр (срединный перпендикуляр или медиатриса) — прямая, перпендикулярная к данному отрезку и проходящая через его середину.

I) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
2) Вывод формулы площади треугольника. Следствия. Формула Герона (без доказательства)
3275330254635Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Дано: ∆АВС
Доказать: \s
Доказательство:
Достроим ∆ABC до параллелограмма ABDC 
=> \s=>\s
514477049530Следствия:
Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. \s
Следствие 2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Формула Герона: \s
Билет № 12
Определение окружности, вписанной в многоугольник. Многоугольник, описанный около окружности. Свойство описанного четырехугольника.
1) Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.Свойство описанного четырехугольника:
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны
AB+CD=DC+AD
2) Доказать свойства диагоналей ромба
Определение. Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойство диагоналей ромба
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам
Дано: АВСD-ромб, АС, ВD-диагонали
Доказать: \s
\s
Доказательство:


Билет № 13
1) Определение окружности, описанной около многоугольника. Многоугольник, вписанный в окружность.
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.
Свойство четырехугольника, вписанного в окружность
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
А+С=180°2) Доказать свойство биссектрисы угла
Определение. Биссектриса угла - луч, который исходит из вершины угла и делит угол на две равные части
Свойство биссектрисы угла
Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе

Билет №14
1) Окружность, вписанная в треугольник. Окружность, описанная около треугольника. Нахождение центров этих окружностей.
Определение 1. Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник.

 Определение 2. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника. В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.

Расположение центров окружностей, описанных около треугольника
Центр окружности, описанной около треугольника, расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

1) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике: 
а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рис. 8.108); 
б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию (рис. 8.109);
2) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы (рис. 8.110);
3) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника (рис. 8.111).

Окружность описанная около треугольника
Около любого треугольника можно описать окружность.
Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник:
Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника

Центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в этом треугольнике
Окружность вписанная в треугольник
В любой треугольник можно вписать окружность.
2) Свойство углов при основании равнобедренной трапеции
Определение. Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Свойство углов при основании равнобедренной трапеции:
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны
Дано: АD=BC
Доказать: \sD=\sC, \sА=\sB
Доказательство:
1) Дополнительное построение: высоты AM, BN
2) Рассмотрим прямоугольные ∆AMD и ∆BNC: AD=BC, т.к. ABCD – равнобедренная трапеция; AM=BN – перпендикуляры, заключенные между параллельными прямыми.Следовательно, ∆AMD = ∆BNC по катету и гипотенузе.
 Следовательно, \sD=\sC
3) \sA=180°-\sD; \sB=180°-\sC → \sА=\sB
Билет №15
1) Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

2) Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.
Свойство отрезков пересекающихся хорд
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равна произведению отрезков другой хорды
Дано: хорды АВ и СD пересекаются в точке Е.
Доказать: АЕ∙ВЕ=СЕ∙DЕ.
Доказательство:

Теорема доказана.

Приложенные файлы

  • docx 89245413
    Размер файла: 697 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий